Leetcode 1486.数组异或操作

 

给你两个整数，n 和 start 。

数组 nums 定义为：nums[i] = start + 2*i（下标从 0 开始）且 n == nums.length 。

请返回 nums 中所有元素按位异或（XOR）后得到的结果。

示例 1：

输入：n = 5, start = 0
输出：8
解释：数组 nums 为 [0, 2, 4, 6, 8]，其中 (0 ^ 2 ^ 4 ^ 6 ^ 8) = 8 。
     "^" 为按位异或 XOR 运算符。

示例 2：

输入：n = 4, start = 3
输出：8
解释：数组 nums 为 [3, 5, 7, 9]，其中 (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.

示例 3：

输入：n = 1, start = 7
输出：7

示例 4：

输入：n = 10, start = 5
输出：2

提示：

• 1 <= n <= 1000
• 0 <= start <= 1000
• n == nums.length 

我的答案：

 一、信息

1.给了我们两个整数 n start

2.num数组中的值由式子 num[]=start+2*i(数组下标)

3.n代表了了该数组的长度

4.要我们返回数组中所有元素并按位 异或（XOR）得到结果

二、步骤

第一步 输入两个整数

第二步 定义个num并给num通过条件2给的公式赋值和用N确定长度

第三步就是返回

三、

四、问题出现

这个有元素按位异或（XOR）后得到的结果是什么意思？

这话的意思就是将数组里的第一个元素和第二个进行异或然后结果和第三个元素异或。

五、实现

Leetcode题解：

方法一：模拟
思路

按照题意模拟即可：

初始化 ans=0\textit{ans} = 0ans=0；
遍历区间 [0,n−1][0, n - 1][0,n−1] 中的每一个整数 iii，令 ans\textit{ans}ans 与每一个 start+2×i\textit{start} + 2 \times istart+2×i 做异或运算；
最终返回 ans\textit{ans}ans，即我们需要的答案。

C++：

class Solution(int x) {
public:
	int sumXor(int x) {
		if (x % 4 == 0) {
			return x;
		}
		if (x % 4 == 1) {
			return 1;
		}
		if (x % 4 == 2) {
			return x + 1;
		}
		return 0;
	}
	int xorOperation(int n, int start) {
		int s = start >> 1, e = n & start & 1;
		int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
		return ret << 1 | e;
	}
}

方法二 异或法

Leetcode答案：

C++：

class Solution {
public:
    int sumXor(int x) {
        if (x % 4 == 0) {
            return x;
        }
        if (x % 4 == 1) {
            return 1;
        }
        if (x % 4 == 2) {
            return x + 1;
        }
        return 0;
    }
 
    int xorOperation(int n, int start) {
        int s = start >> 1, e = n & start & 1;
        int ret = sumXor(s - 1) ^ sumXor(s + n - 1);
        return ret << 1 | e;
    }
};
 

 我的理解：

这个解决方案运用了数学性质和位运算的技巧来减少计算的复杂度。让我们一步一步解析这段代码和它的思考过程。

### 思考过程和分析过程

1. **问题理解**
   
   首先我们需要计算以下数列的异或总和：
   
   

   
2. **性质分析**
   
   在开始编码之前，我们首先注意到异或运算有一些特定的性质，可以用于简化我们的问题：
   
   - 交换律：x⊕y=y⊕x
   - 结合律：(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z)
   - 自反性：x⊕y⊕y=x
   - 每四个连续的整数异或结果为0：4i⊕(4i+1)⊕(4i+2)⊕(4i+3)=0

3. **简化问题**
   
   通过对数列的分析，我们注意到所有数都有相同的奇偶性。我们可以将所有数除以2（或右移一位），然后最后加上一个修正项来获得最终答案。修正项由start的最低位和n的奇偶性决定。

4. **函数sumXor**
   
   为了解决问题，我们设计了一个函数sumXor(x)，它计算从0到x的所有整数的异或和。由于每四个连续的整数异或结果为0，我们可以只考虑x除以4的余数来计算结果。

### 代码演绎和推理

1. **sumXor函数**

   这个函数根据输入x的值返回0到x的异或总和。由于每四个连续的整数异或结果为0，函数只需要考虑x除以4的余数来得出结果。

2. **主函数**

   主函数计算了s（即start除以2的结果）和e（表示最终结果的最低位，只有当n和start都是奇数时才为1）。然后，它计算了sumXor(s-1)和sumXor(s+n-1)的异或值，然后将结果乘以2并添加e来获得最终结果。

### 检查答案的过程

为了检查我们的答案，我们可以使用一些示例输入来运行我们的代码，并验证输出是否与预期匹配。如果所有测试都通过，我们可以有信心我们的解决方案是正确的。

现在，我们可以使用这个方法来实现C，C++和Java版本的解决方案。

总结：

从这个题目中，我们可以学习以下几个方面：

1. **高效算法的设计**：不是所有的问题都需要通过直接的方式解决。在这种情况下，直接计算数组的所有元素的异或将会花费较多的时间（O(n)时间复杂度）。但是通过运用数学技巧，我们可以将时间复杂度降到O(1)。

2. **异或运算的性质和应用**：这个题目深刻地展示了异或运算的一些基本性质，如交换律、结合律和自反性。同时，题目也介绍了一个特定的性质，即连续4个整数的异或结果为0。

3. **位运算的应用**：这个题目用到了位运算的一些技巧，包括右移运算来实现除以2和用位运算来检查奇偶性。位运算是一种高效的计算方式，通常比算术运算更快。

4. **问题简化技巧**：这个题目展示了如何通过简化问题来找到一个更高效的解决方案。在这种情况下，我们通过将问题简化为求解一个更小范围的异或和，然后通过数学技巧得到了答案。

5. **函数的应用**：通过创建`sumXor`函数来计算一个范围内的异或和，我们能够使代码更清晰和模块化，这也使得解决方案更易于理解和实现。

6. **数学归纳与分析**：解决这个问题需要深入的数学分析和推理，展示了数学在算法设计和分析中的重要性。

7. **测试和验证**：最后，我们可以通过创建测试案例来验证我们的解决方案。这不仅可以帮助我们验证我们的解决方案是否正确，而且还可以帮助我们更好地理解问题和解决方案的工作原理。

综上所述，这个题目是一个很好的示例，展示了如何通过数学技巧和算法设计技术来解决一个看似复杂的问题。

从这道题中，我们可以学到以下几点新的思想、方法和思维：

1. **抽象化和一般化**：
   - 学习如何从具体的情境中提取一般性的原理或模式，这有助于我们形成更高效的解决策略。

2. **分而治之的思想**：
   - 问题被分解为几个更小的部分，分别解决，然后合并结果。这在算法设计中是一个非常有用和强大的策略。

3. **数学与编程的结合**：
   - 这道题目深刻体现了数学和编程的交叉应用。在编程中引入数学分析可以更好地优化解决方案。

4. **递归思想的应用**：
   - 通过创建一个计算异或和的函数，我们可以看到递归思想的影子。这种思想可以帮助我们在解决问题时更好地组织代码和逻辑。

5. **空间复杂度的降低**：
   - 通过数学方法我们避免了明显的数组分配和迭代，从而降低了空间复杂度。

6. **利用已有规律简化问题**：
   - 观察并利用已知的规律或性质（例如，连续四个数的异或为0）可以大大简化问题和解决方案。

7. **边界情况的处理**：
   - 在处理问题时，我们需要考虑和处理边界情况，这是算法设计中一个非常重要的步骤。

8. **代码的模块化**：
   - 通过将复杂问题分解成更小的函数或模块，可以使代码更清晰和易于维护。

通过学习和理解这种类型的问题和解决方案，我们可以培养更深层次的问题解决能力和思维方式，这将有助于我们在未来遇到类似或更复杂问题时更有效地解决它们。