• 【数据结构与算法】十大经典排序算法

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    前言

    排序算法是《数据结构与算法》中最基本的算法之一。
    排序算法可以分为内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。常见的排序算法有：插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序、归并排序、快速排序、堆排序、技术排序等。

    一、常见十大排序算法总结

    以下为常见的排序算法冒泡排序、选择排序、插入排序、希尔排序、归并排序、快速排序、堆排序、计数排序、桶排序、基数排序的平均时间复杂度、最好情况下的时间复杂度、最坏情况下的时间复杂度、空间复杂度、排序方式、稳定性的汇总。

    1、名词解释

    • n:数据规模
    • k:“桶”的个数
    • In-Place:占用常数内存，不占用额外内存
    • Out-Place：占用额外内存
    • 稳定性：排序后2个相等键值的顺序和排序之前他们的顺序相同

    稳定的排序算法有：冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序。
    不稳定的排序算法有：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序。
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    点击以下图片查看大图：
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    2、时间复杂度

    -平方阶O（n2）:各类简单排序，直接插入、直接选择、冒泡排序；

    • 线性对数阶O（nlog2n）：快速排序、归并排序、堆排序；
    • O（n1+ζ）:ζ是介于0和1之间的常数，希尔排序；
    • 线性阶O（n）：基数排序、桶排序、箱排序；

    二、排序算法与C语言实现

    1、冒泡排序

    冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单直观的排序算法。两两对比，大的总是排在后，然后继续与后面的数对比，直到最大的数排在最后，然后再最后排好的数之前的数列中继续重复该过程，直到所有的数都排好。

    • 算法步骤
      比较相邻的元素，如果第一个比第二个大，就交换将大的排在后面。
      对每对相邻元素进行同样的比较，最后的元素会是最大的数。
      针对所有元素进行相同处理，直到第一个数是最小的数。

    • 动图演示
      在这里插入图片描述

    • 什么时候最快
      当输入的数据已经有序时。

    • 什么时候最慢
      当输入的数据是反序时，需要移动交换所有步骤。

    • C语言实现冒泡排序

    #include 
void bubble_sort(int arr[], int len) {
        int i, j, temp;
        for (i = 0; i < len - 1; i++)
                for (j = 0; j < len - 1 - i; j++)
                        if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                                temp = arr[j];
                                arr[j] = arr[j + 1];
                                arr[j + 1] = temp;
                        }
}
int main() {
        int arr[] = { 22, 34, 3, 32, 82, 55, 89, 50, 37, 5, 64, 35, 9, 70 };
        int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
        bubble_sort(arr, len);
        int i;
        for (i = 0; i < len; i++)
                printf("%d ", arr[i]);
        return 0;
}

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    2、选择排序

    选择排序是一种简单直观的排序算法，无论什么数据进去都是O（n2）的时间复杂度。所以用到它的时候，数据规模越小越好。

    • 算法步骤

    首先选择在未排序的序列中找到最小（大）元素，存放到排列序列的起始位置。
    再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
    重复第二步，直到所有元素均排序完毕。

    • 动图演示
      在这里插入图片描述

    • C语言实现选择排序

    void swap(int *a,int *b) //交換兩個變數
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}
void selection_sort(int arr[], int len) 
{
    int i,j;

        for (i = 0 ; i < len - 1 ; i++) 
    {
                int min = i;
                for (j = i + 1; j < len; j++)     //走訪未排序的元素
                        if (arr[j] < arr[min])    //找到目前最小值
                                min = j;    //紀錄最小值
                swap(&arr[min], &arr[i]);    //做交換
        }
}

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    3、插入排序

    插入排序的代码实现虽然没有冒泡排序和选择排序那么简单粗暴，但它的原理应该是最容易理解的了，因为只要打过扑克牌的人都应该能够秒懂。插入排序是一种最简单直观的排序算法，它的工作原理是通过构建有序序列，相对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

    • 算法步骤

    将待排序序列的第一个元素看做一个有序序列，把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列。
    从头到尾扫描未排序序列，将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置。（如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面）

    • 动图演示

    在这里插入图片描述

    • C语言实现
    void insertion_sort(int arr[], int len){
        int i,j,key;
        for (i=1;i<len;i++){
                key = arr[i];
                j=i-1;
                while((j>=0) && (arr[j]>key)) {
                        arr[j+1] = arr[j];
                        j--;
                }
                arr[j+1] = key;
        }
}

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    4、希尔排序

    希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。但希尔排序是非稳定排序算法。
    希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出的改进方法：

    • 插入排序在对几乎已经排好的数据操作时，效率高，即可以达到线性排序的效率；
    • 但插入排序一般来说是低效的，因为插入排序每次只能将数据移动一位；

    希尔排序的基本思想是：先将整个待排序的记录序列分割成为若干个序列分别进行直接插入排序（根据步长交换），待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行依次直接插入排序。

    • 算法步骤

    以序列: {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 6, 4, 0} 为例！

    1.初始步长gap = length/2 ＝ 5，意味着将整个数组分为了5组，即[8，3]，[9，5]，[1，6]，[7，4]，[2，0]，对每组进行插入排序，得到序列：{3，5，1，4，0，8，9，6，7，2}，可以看到：3，5，4，0这些小元素都被提到前面了。
    在这里插入图片描述

    2.缩小增量gap = 5/2 = 2，数组被分为两组，即[3，1，0，9，7]，[5，4，8，6，2]，对这两组分别进行直接插入排序，可以看到，整个数组的有序程度更进一步了。
    在这里插入图片描述

    3.再次缩小增量，gap = 2/2 = 1，此时整个数组为[0，2，1，4，3，5，7，6，9，8]，进行一次插入排序，即可实现数组的有序化（仅需要简单微调，而无需大量移动操作）。
    在这里插入图片描述

    • java语言实现
    import java.util.Arrays;

/**
 * @author 兴趣使然黄小黄
 * @version 1.0
 * 希尔排序
 */
public class ShellSort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 6, 4, 0};
        System.out.println("排序前: " + Arrays.toString(arr));
        shellSort(arr);
        System.out.println("排序后: " + Arrays.toString(arr));
    }

    //希尔排序
    public static void shellSort(int[] arr){
        //设定步长
        for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2){
            //将数据分为arr.length/gap组，逐个对其所在的组进行插入排序
            for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
                //遍历各组中的所有元素，步长为gap
                int j = i;
                int temp = arr[j]; //记录待插入的值
                while (j - gap >= 0 && temp < arr[j-gap]){
                    //移动
                    arr[j] = arr[j-gap];
                    j -= gap;
                }
                //找到位置，进行插入
                arr[j] = temp;
            }
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }
}


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    5、归并排序

    归并排序（Merge Sort）是建立在归并操作上的一种有效，稳定的排序算法，该算法是采用 分治法（Divide and Conquer） 的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

    • 算法步骤
      Step1——确定分界点mid（三种常用的方法）：q[l]、q[(l+r)/2]、q[r]，或者随机确定；
      Step2——将待排序列调整成 left 和 right 两个子序列，递归排序 left 和 right ；
      Step3——归并（合二为一），Finish！

    • 演示
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    • C实现

    int min(int x, int y) {
    return x < y ? x : y;
}
void merge_sort(int arr[], int len) {
    int *a = arr;
    int *b = (int *) malloc(len * sizeof(int));
    int seg, start;
    for (seg = 1; seg < len; seg += seg) {
        for (start = 0; start < len; start += seg * 2) {
            int low = start, mid = min(start + seg, len), high = min(start + seg * 2, len);
            int k = low;
            int start1 = low, end1 = mid;
            int start2 = mid, end2 = high;
            while (start1 < end1 && start2 < end2)
                b[k++] = a[start1] < a[start2] ? a[start1++] : a[start2++];
            while (start1 < end1)
                b[k++] = a[start1++];
            while (start2 < end2)
                b[k++] = a[start2++];
        }
        int *temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    if (a != arr) {
        int i;
        for (i = 0; i < len; i++)
            b[i] = a[i];
        b = a;
    }
    free(b);
}

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    6、快速排序

    快速排序(Quick Sort)是对冒泡排序的一种改进。由C. A. R. Hoare在1962年提出，其基本思想是选取一个记录作为枢轴，经过一趟排序，将整段序列分为两个部分，其中一部分的值都小于枢轴，另一部分都大于枢轴。然后继续对这两部分继续进行排序，从而使整个序列达到有序。

    • 算法步骤
    • 1.基本思想:
      例如对于一个待排序的源数组arr = { 4，1，3，2，7，6，8}。
      在这里插入图片描述
      我们可以随便选一个元素，假如我们选数组的第一个元素吧，我们把这个元素称之为“主元”吧。
      在这里插入图片描述

    然后将大于或等于主元的元素放在右边，把小于或等于主元的元素放在左边。
    在这里插入图片描述

    通过这种规则的调整之后，左边的元素都小于或等于主元，右边的元素都大于或等于主元，很显然，此时主元所处的位置，是一个有序的位置,即主元已经处于排好序的位置了。
    主元把数组分成了两半部分。把一个大的数组通过主元分割成两小部分的这个操作，我们也称之为分割操作(partition)。
    接下来，我们通过递归的方式，对左右两部分采取同样的方式，每次选取一个主元元素，使他处于有序的位置。当然是递归到子数组只有一个元素或者0个元素了，递归结束。
    在这里插入图片描述

    代码：quick_sort 是快速排序的算法，partion函数是对于数组的分割操作，分割操作有很多种方法。

    快速排序分割操作有多种方法，这里列举的最基本的一种。

    • 动图演示
      在这里插入图片描述

    • C语言实现选择排序

    void QuickSort(int array[], int low, int high) {
    int i = low; 
    int j = high;
    if(i >= j) {
        return;
    }
 
    int temp = array[low];
    while(i != j) {
        while(array[j] >= temp && i < j) {
            j--;
        }
	while(array[i] <= temp && i < j) {
            i++;
        }
	if(i < j) {
            swap(array[i], array[j]);
        }
    }
 
    //将基准temp放于自己的位置，（第i个位置）
    swap(array[low], array[i]);
    QuickSort(array, low, i - 1);
    QuickSort(array, i + 1, high);
}

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    7、堆排序

    堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构设计的一种排序算法，堆积一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：子节点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
    分为两种方法：
    大顶堆：父节点大于等于子节点，属于升序算法；
    小顶堆：父节点小于等于子节点，属于降序算法；
    堆排序平均时间复杂度为O（nlogn）

    堆一般用来在大量数据中找到前N大或者前N小的数据。

    大顶堆：从大到小为降序（Desc）12…
    在这里插入图片描述
    小顶堆：从小到大为升序（Asc）2…
    在这里插入图片描述

    • 算法步骤
      构建大顶堆：
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    构建小顶堆：
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 动图演示

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • C语言实现选择排序
      大顶堆代码：
    #include 

void swap(int arr[], int i, int j){
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}

void heapify(int tree[], int n, int i){
if (i >= n){
return;
}

int c1 = 2 * i + 1;
int c2 = 2 * i + 2;
int max = i;
if (c1 < n && tree[c1] > tree[max]){
max = c1;
}
if (c2 < n && tree[c2] > tree[max]){
max = c2;
}
if (max != i){
swap(tree, max ,i);
heapify(tree, n, max);
}
}

void build_heap(int tree[], int n){
int last_node = n - 1;
int parent = (last_node - 1) / 2;
for (int i = parent; i >= 0; i--){
heapify(tree, n, i);
}
}

void heap_sort(int tree[], int n){
build_heap(tree, n);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--){
swap(tree, i, 0);
heapify(tree, i, 0);
}
}

int main(){
int tree[] = {6, 10, 3, 9, 5, 12, 7, 2, 8};
int n = 9;

build_heap(tree, 9);
// heap_sort(tree, 9);

for(int i = 0; i < n; i++){
printf("%d\n",tree[i]);
}
return 0;
}

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    大顶堆结果：从大到小结果为降序（Desc）
    在这里插入图片描述
    小顶堆代码：

    #include 

void swap(int arr[], int i, int j){
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}

void heapify(int tree[], int n, int i){
if (i >= n){
return;
}

int c1 = 2 * i + 1;
int c2 = 2 * i + 2;
int max = i;
if (c1 < n && tree[c1] > tree[max]){
max = c1;
}
if (c2 < n && tree[c2] > tree[max]){
max = c2;
}
if (max != i){
swap(tree, max ,i);
heapify(tree, n, max);
}
}

void build_heap(int tree[], int n){
int last_node = n - 1;
int parent = (last_node - 1) / 2;
for (int i = parent; i >= 0; i--){
heapify(tree, n, i);
}
}

void heap_sort(int tree[], int n){
build_heap(tree, n);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--){
swap(tree, i, 0);
heapify(tree, i, 0);
}
}

int main(){
int tree[] = {6, 10, 3, 9, 5, 12, 7, 2, 8};
int n = 9;

// build_heap(tree, 9);
heap_sort(tree, 9);

for(int i = 0; i < n; i++){
printf("%d\n",tree[i]);
}
return 0;
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    小顶堆结果：从小到大为升序（Asc）
    在这里插入图片描述

    8、计数排序

    计数排序的核心在于将输入的数据值转化为键存储在额外开辟的数组空间中。作为一种线性时间复杂度的排序，计数排序要求输入的数据必须是有确定范围的整数。

    1. 计数排序的特征
      当输入的元素是 n 个 0 到 k 之间的整数时，它的运行时间是 Θ(n + k)。计数排序不是比较排序，排序的速度快于任何比较排序算法。

    由于用来计数的数组C的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存。例如：计数排序是用来排序0到100之间的数字的最好的算法，但是它不适合按字母顺序排序人名。但是，计数排序可以用在基数排序中的算法来排序数据范围很大的数组。

    通俗地理解，例如有 10 个年龄不同的人，统计出有 8 个人的年龄比 A 小，那 A 的年龄就排在第 9 位,用这个方法可以得到其他每个人的位置,也就排好了序。当然，年龄有重复时需要特殊处理（保证稳定性），这就是为什么最后要反向填充目标数组，以及将每个数字的统计减去 1 的原因。

    • 算法步骤
      （1）找出待排序的数组中最大和最小的元素
      （2）统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
      （3）对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
      （4）反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

    • 动图演示
      在这里插入图片描述

    • C语言实现选择排序

    #include 
#include 
#include 

void print_arr(int *arr, int n) {
        int i;
        printf("%d", arr[0]);
        for (i = 1; i < n; i++)
                printf(" %d", arr[i]);
        printf("\n");
}

void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n) {
        int *count_arr = (int *) malloc(sizeof(int) * 100);
        int i, j, k;
        for (k = 0; k < 100; k++)
                count_arr[k] = 0;
        for (i = 0; i < n; i++)
                count_arr[ini_arr[i]]++;
        for (k = 1; k < 100; k++)
                count_arr[k] += count_arr[k - 1];
        for (j = n; j > 0; j--)
                sorted_arr[--count_arr[ini_arr[j - 1]]] = ini_arr[j - 1];
        free(count_arr);
}

int main(int argc, char **argv) {
        int n = 10;
        int i;
        int *arr = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
        int *sorted_arr = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
        srand(time(0));
        for (i = 0; i < n; i++)
                arr[i] = rand() % 100;
        printf("ini_array: ");
        print_arr(arr, n);
        counting_sort(arr, sorted_arr, n);
        printf("sorted_array: ");
        print_arr(sorted_arr, n);
        free(arr);
        free(sorted_arr);
        return 0;
}

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    9、桶排序

    在这里插入图片描述

    • C++语言实现选择排序
    #include
#include
#include
using namespace std;
const int BUCKET_NUM = 10;

struct ListNode{
        explicit ListNode(int i=0):mData(i),mNext(NULL){}
        ListNode* mNext;
        int mData;
};

ListNode* insert(ListNode* head,int val){
        ListNode dummyNode;
        ListNode *newNode = new ListNode(val);
        ListNode *pre,*curr;
        dummyNode.mNext = head;
        pre = &dummyNode;
        curr = head;
        while(NULL!=curr && curr->mData<=val){
                pre = curr;
                curr = curr->mNext;
        }
        newNode->mNext = curr;
        pre->mNext = newNode;
        return dummyNode.mNext;
}


ListNode* Merge(ListNode *head1,ListNode *head2){
        ListNode dummyNode;
        ListNode *dummy = &dummyNode;
        while(NULL!=head1 && NULL!=head2){
                if(head1->mData <= head2->mData){
                        dummy->mNext = head1;
                        head1 = head1->mNext;
                }else{
                        dummy->mNext = head2;
                        head2 = head2->mNext;
                }
                dummy = dummy->mNext;
        }
        if(NULL!=head1) dummy->mNext = head1;
        if(NULL!=head2) dummy->mNext = head2;
        
        return dummyNode.mNext;
}

void BucketSort(int n,int arr[]){
        vector<ListNode*> buckets(BUCKET_NUM,(ListNode*)(0));
        for(int i=0;i<n;++i){
                int index = arr[i]/BUCKET_NUM;
                ListNode *head = buckets.at(index);
                buckets.at(index) = insert(head,arr[i]);
        }
        ListNode *head = buckets.at(0);
        for(int i=1;i<BUCKET_NUM;++i){
                head = Merge(head,buckets.at(i));
        }
        for(int i=0;i<n;++i){
                arr[i] = head->mData;
                head = head->mNext;
        }
}

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    10、基数排序

    - **算法步骤**

    • LSD 基数排序动图演示

    在这里插入图片描述

    • C语言实现选择排序
    #include
#define MAX 20
//#define SHOWPASS
#define BASE 10

void print(int *a, int n) {
  int i;
  for (i = 0; i < n; i++) {
    printf("%d\t", a[i]);
  }
}

void radixsort(int *a, int n) {
  int i, b[MAX], m = a[0], exp = 1;

  for (i = 1; i < n; i++) {
    if (a[i] > m) {
      m = a[i];
    }
  }

  while (m / exp > 0) {
    int bucket[BASE] = { 0 };

    for (i = 0; i < n; i++) {
      bucket[(a[i] / exp) % BASE]++;
    }

    for (i = 1; i < BASE; i++) {
      bucket[i] += bucket[i - 1];
    }

    for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
      b[--bucket[(a[i] / exp) % BASE]] = a[i];
    }

    for (i = 0; i < n; i++) {
      a[i] = b[i];
    }

    exp *= BASE;

#ifdef SHOWPASS
    printf("\nPASS   : ");
    print(a, n);
#endif
  }
}

int main() {
  int arr[MAX];
  int i, n;

  printf("Enter total elements (n <= %d) : ", MAX);
  scanf("%d", &n);
  n = n < MAX ? n : MAX;

  printf("Enter %d Elements : ", n);
  for (i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &arr[i]);
  }

  printf("\nARRAY  : ");
  print(&arr[0], n);

  radixsort(&arr[0], n);

  printf("\nSORTED : ");
  print(&arr[0], n);
  printf("\n");

  return 0;
}

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    总结

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