USACO18OPEN Talent Show G

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

题目大意

有$n$头奶牛，第$i$头奶牛的重量为$w_i$，才艺水平为$t_i$。你需要选择若干头奶牛，使得

• 这些奶牛的总重量至少为$W$
• 总才艺值与总重量的比值最大的一组获胜

这些奶牛的总重量大于等于$W$，求选择若干头奶牛能够达到的才艺与重量的比值的最大值，并输出这个最大值成一千再向下取整后的值。

$1\le n\le 250,1\le W\le 1000,1\le w_i\le 10^6,1\le t_i\le 10^3$

题解

二分答案，设当前二分的值为$mid$，则

$\frac{\sum t_i}{\sum w_i}\ge mid$

由此可得

$\sum t_i\ge mid\times \sum w_i$

移项得

$\sum (t_i-mid\times w_i)\ge 0$

令$v_i=t_i-mid\times w_i$，那么每头奶牛的重量为$w_i$，价值为$w_i$，用背包即可解决。重量大于等于$W$的都记录在$f_W$中。最后只需判断$f_W$是否大于$0$即可。

为了方便，所有$t$值在一开始就乘了$1000$。

时间复杂度为$O(nw\log S)$，其中$S=\sum w_i$。

code

#include
using namespace std;
int n,w;
long long f[305][1005];
struct node{
	int w,t;
}v[305];
bool check(long long k){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=w;j++) f[i][j]=-1e15;
	}
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=w;j++) f[i][j]=f[i-1][j];
		for(int j=0;j<=w;j++){
			f[i][min(j+v[i].w,w)]=max(f[i][min(j+v[i].w,w)],f[i-1][j]+v[i].t-k*v[i].w);
		}
	}
	return f[n][w]>=0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&w);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&v[i].w,&v[i].t);
		v[i].t*=1000;
	}
	int l=0,r=3e8,mid;
	while(l<=r){
		mid=l+r>>1;
		if(check(mid)) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	printf("%d",l-1);
	return 0;
}
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