离散数学_十章-图 ( 3 )：由旧图构造新图

有时解决问题只需要图的一部分。
比如我们现在只关心大型计算机网络中涉及济南，广州，深圳的计算机中心，所以我们可以忽略其他的计算机中心，把济南，广州，深圳的计算机中心从全局 “剥离” 出来~

概念

1. 子图

子图定义：当从图中删除了边和顶点，不删除所保留边的端点时，就得到一个更小的图，这样的图称为原图的子图。

2. 真子图

真子图定义：图 G=（V,E) 的子图是图 H = (W, F)，其中W⊆V 且 F⊆E 。若 H≠G，则称图G的子图H是G的真子图。

（子图和真子图 类似于 子集和真子集）

→ 因此，如果已知一个图的顶点集合，我们可以由图中的顶点和连接这些顶点的边得到这个图的子图。

3. 导出的子图

导出的子图：令图 G =（V , E) 是一个简单图，图 H = (W , F)是由顶点集V的子集W 导出的子图，其中边集F 包含E中的一条边 iff 这条边的两个端点都在W中

（简单图：没有自回路、没有多重边的图 / 不是伪图的图）

例题：
图一中右图所示的是K₅的一个子图，如果我们在右图中增加一条连接e和c的边，就得到一个由 W = { a, b, c, e } 导出的子图

旧图构造新图的方法

1. 删除或增加图中的边

删除边

已知图G = (V，E)，边e∈E，我们可以通过删除边e得到图G的一个子图。所得到的子图，记作 G - e，和图G具有相同的顶点集V。它的边集是E - e。

所以，G - e = ( V, E - { e } )

类似地，若 E^’ 是 E 的子集，我们可以通过从图中删除 E^’ 中的边得到图G的子图。所得到的子图和图G具有相同的顶点集V。它的边集是E - E^’ 。

增加边
我们可以通过在图中增加一条连接图G中已有的两个顶点的边e得到一个新的更大的图。我们把在图G中增加一条新边，该边连接原图中两个原本不相关联的顶点，所得到的新图记作G + e。

所以G + e = ( V， E U { e } )

2. 边的收缩

通俗来说就是将边两端的顶点 “合成” 为一个点

当我们从图中删除一条边后，我们不希望将该边的端点作为独立的顶点保留在所得到的子图中。在这种情况下，我们进行边的收缩。

3. 删除顶点

当我们从图G = (V，E) 删除一个顶点v以及所有与它相关联的边时，就得到图G的一个子图，记作G - v。注意，G - v = (V - v，E’)。

其中 E’ 是G中不与v相关联的边的集合。

类似地，若V’是V的子集，则图 G - V 是子图 (V - V’，E’)，其中E’是G中不与V’中的顶点相关联的边的集合。

例题：

已知无向图G：

求在G上进行不同的操作得到的图：

a) G - { b，c }，在图G中删除边{b，c}构造的图。
b) G + { e，d }，在图G中增加边{e，d}构造的图。

c) G的收缩图，在图G中，用新顶点 f 替换边{b，c}，使用新边{a，f}、{f，d}和{f，e}替换边{c，d}、{a，b}、 {b，e}和{c，e}构造的图。

d) G - c，在图G中删除顶点c 以及边{b，c}、{c，d}和{c，e}构造的图。

🔴解：

a)

b)

c)

d)