文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （23）-- 算法导论4.2 5题

五、V.Pan 发现一种方法，可以用 132 464 次乘法操作完成 68 x 68 的矩阵相乘，发现另一种方法，可以用 143 640 次乘法操作完成 70 x 70 的矩阵相乘，还发现一种方法，可以用155 424次乘法操作完成 72 x 72 的矩阵相乘。当用于矩阵相乘的分治算法时，上述哪种方法会得到最佳的渐近运行时间?与 Strassen 算法相比，性能如何?

文心一言：

由于矩阵相乘的时间复杂度为 O(n ^ 3)，因此分治算法的时间复杂度也为 O(n ^ 3)。因此，这些方法的时间复杂度都相同，都是 O(n^3)。

与 Strassen 算法相比，这些方法的性能可能会较差。Strassen 算法可以在 7 x 7 的矩阵相乘中完成 28 次乘法操作，而在 8 x 8 的矩阵相乘中完成 56 次乘法操作。因此，Strassen 算法的时间复杂度为 O(n^2)，比分治算法要快。

但是，Strassen 算法的推广并不容易，因此它只适用于小型矩阵相乘问题。对于大型矩阵相乘问题，分治算法仍然是广泛使用的算法之一。

讯飞星火：

为了比较这三种方法的性能，我们可以计算它们在执行矩阵相乘时所需的时间。对于较小的矩阵，使用分治算法通常比使用 Strassen 算法更高效。因此，我们可以先计算出 V. Pan 发现的三种方法在执行 68 x 68、70 x 70 和 72 x 72 矩阵相乘时的渐近运行时间。然后，我们将这些时间与 Strassen 算法的时间进行比较。V. Pan 发现的方法：

132464次乘法操作完成68x68矩阵相乘：T(n) = O(n^3)

143640次乘法操作完成70x70矩阵相乘：T(n) = O(n^3)

155424次乘法操作完成72x72矩阵相乘：T(n) = O(n^3)Strassen 算法：

132464次乘法操作完成68x68矩阵相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)

143640次乘法操作完成70x70矩阵相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)

155424次乘法操作完成72x72矩阵相乘：T(n) = O(n^log_2(n)) = O(n^0.959)从上面的计算结果可以看出，当用于矩阵相乘的分治算法时，上述哪种方法会得到最佳的渐近运行时间？答案是 V. Pan 发现的三种方法。与 Strassen 算法相比，它们的性能略低，但仍然非常高效。

华为盘古：

对于第一个问题，V.Pan 使用了一种迭代算法，其中每一步都使用 132 464 次乘法操作，因此可以很快地找到渐近运行时间。

对于第二个问题，V.Pan 使用了一种分治算法，其中每一步都使用 143 640 次乘法操作，因此可以更快地找到渐近运行时间。

对于第三个问题，V.Pan 使用了一种并行算法，其中每一步都使用 155 424 次乘法操作，因此可以更快地找到渐近运行时间。

在渐近运行时间方面，V.Pan 算法的性能与 Strassen 算法相当，甚至稍优于 Strassen 算法。这是因为 V.Pan 算法在每一步上都比 Strassen 算法花费更少的时间，因此总运行时间可能会更短。

综上所述，使用 132 464 次乘法操作完成 68 x 68 的矩阵相乘，使用 143 640 次乘法操作完成 70 x 70 的矩阵相乘，以及使用 155 424 次乘法操作完成 72 x 72 的矩阵相乘，都可以在不同的时间复杂度下找到渐近运行时间。在选择算法时，需要考虑任务的规模、精度和时间要求等因素，以选择最适合的算法。

chatglm：

根据分治算法的基本思想，将复杂的问题分成多个子问题，并且每个子问题的解法是相对简单的。在这种情况下，Pan 的方法将矩阵相乘问题分成了三个子问题，而 Strassen 算法将矩阵相乘问题分成了五个子问题。

由于 Pan 的方法需要更少的乘法操作，因此它在分治算法中可能会得到更好的渐近运行时间。然而，Strassen 算法在理论上具有更好的性能，因为它可以将问题分成更多的子问题，并且每个子问题的解法更加简单。

总的来说，Pan 的方法和 Strassen 算法在矩阵相乘问题上都具有一定的优点和局限性，具体哪种方法最佳取决于具体问题的规模和复杂度。此外，与 Strassen 算法相比，Pan 的方法可能需要更多的计算量和存储空间，因此需要权衡各种因素来选择合适的算法。

chatgpt：

对于矩阵相乘的分治算法，通常会采用 Strassen 算法，其时间复杂度为 $O(n^{{\log }_{2}7})\approx O(n^{2.81})$。

在上述三种方法中，第一种方法可以完成 68 x 68 的矩阵相乘，需要进行 132464 次乘法操作，平均每个元素需要进行 $\frac{132464}{68^3}\approx 0.00053$ 次乘法操作。第二种方法可以完成 70 x 70 的矩阵相乘，需要进行 143640 次乘法操作，平均每个元素需要进行 $\frac{143640}{70^3}\approx 0.0005$ 次乘法操作。第三种方法可以完成 72 x 72 的矩阵相乘，需要进行 155424 次乘法操作，平均每个元素需要进行 $\frac{155424}{72^3}\approx 0.00049$ 次乘法操作。

因此，第三种方法的运行效率最好，平均每个元素需要进行最少的乘法操作。然而，这些方法的运行时间和 Strassen 算法相比仍然较差。根据 Strassen 算法的时间复杂度，当矩阵大小 $n⩾2^k$ 时，其时间复杂度为 $O(n^k)$，其中 $k={\log }_{2}7\approx 2.81$。因此，当矩阵较大时，Strassen 算法的性能将远优于这三种方法。