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最小生成树,包含图的所有顶点的一棵树,树的边采用包含在图中的原有边中权重和最小的边。翻译成人话就是遍历一遍全图所有顶点的最短路径,这条路径就叫最小生成树。
最小生成树存在和图是连通图互为充要条件,顶点都不连通,肯定不可能有路能遍历一遍全图。
求解最小生成树有两种常用算法:
prim算法和Dijkstra算法过程很像,区别在于Dijkstra算法中dist为当前节点到根节点的距离,prim算法中dist为当前节点到树的距离。Dijkstra算法每次是将离根节点最近的节点纳入,prim每次是将离树最近的节点纳入。
Dijkstra算法可以参考博主的上篇文章:数据结构(12)Dijkstra算法JAVA版:图的最短路径问题__BugMan的博客-CSDN博客
以遍历下图为例:
- public class prim {
- static int[][] graph;
- static int[] dist;
- static int[] path=new int[7];
- static boolean[] isUsed=new boolean[7];
- static {
- graph=new int[][]{
- {0,1,4,3,0,0,0},
- {1,0,3,0,0,0,0},
- {4,3,0,2,1,5,0},
- {3,0,2,0,2,0,0},
- {0,0,1,2,0,0,0},
- {0,0,5,0,0,0,2},
- {0,0,0,0,0,2,0}
- };
- dist=new int[]{Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE};
- }
- public static void prim(){
- while(true){
- //判断节点是否已经全部纳入
- if(isOver()){
- break;
- }
- //寻找未纳入的节点中距离树最近的节点
- int i=findRecently();
- //设置为已遍历状态
- isUsed[i]=true;
- //遍历该节点邻接节点
- for (int j=0;j
- if(graph[i][j]!=0&&isUsed[j]==false){
- //更新邻接节点的dist、path
- flashDistAndPath(i,j);
- }
- }
- }
- }
-
- public static int findRecently(){
- int min=Integer.MAX_VALUE;
- int index=-1;
- for(int i=0;i
- if(min>dist[i]&&isUsed[i]==false){
- min=dist[i];
- index=i;
- }
- }
- return index;
- }
-
- public static void flashDistAndPath(int i,int j){
- if (graph[i][j] < dist[j]) {
- dist[j] = graph[i][j];
- path[j] = i;
- }
- }
-
- public static boolean isOver(){
- int trues=0;
- for (boolean isused:isUsed) {
- if(isused==true){
- trues++;
- }
- }
- if(trues==dist.length){
- return true;
- }
- return false;
- }
-
- public static void main(String[] args) {
- isUsed[0]=true;
- dist[1]=1;
- path[1]=0;
-
- prim();
- for (int i=0;i
- System.out.println(dist[i]);
- }
- }
- }
13.3.kruskal算法
13.3.1.概述
kruskal算法,将森林合并成树,过程即使用贪心思想每次将不构成回路的最短边纳入。最后就是将一棵棵小树树组成的森林合成一课大树,即最小生成树。
为什么不构成回路喃,构成回路一定不会是最短路径,这个自行画图思考一下就能明白,或者参照下面例子也能理解。
以下图为例展示kruskal算法的全过程:
先将最小的边(权重为1)的纳入森林:
接下来将剩余最小的边(权重为2)纳入森林:
接下来将剩下最小的边(权重为4)纳入森林,不能纳入权重为3的边,因为纳入后会构成回路。有一条权重为4的边也因为纳入后会构成回路所以不能纳入森林:
这里就可以思考一下如果将构成回路的边纳入森林,会产生什么情况。
同理权重为5的边不能纳入,应该纳入权重为6的边,完成将每个节点纳入树,生成最小生成树:
13.3.2.代码实现
kruskal的实现偷个懒了,引用站内其他博主的实现:
原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_48544279/article/details/126843851
(主要是当时想着kruskal的实现过程不复杂,就偷懒没留下自己的实现代码。哈哈哈~)
- private int edgeNum; //边的个数
- private char[] vertexs; //顶点数组
- private int[][] matrix; //邻接矩阵
- //使用 INF 表示两个顶点不能连通
- private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
-
- public static void main(String[] args) {
- //创建顶点数组
- char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
- //图的邻接矩阵(二维数组)
- int matrix[][] = {
- /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
- /*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
- /*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
- /*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
- /*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
- /*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
- /*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
- /*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
- //大家可以在去测试其它的邻接矩阵,结果都可以得到最小生成树.
-
- //创建KruskalCase 对象实例
- KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
-
- kruskalCase.kruskal();
- }
-
- //构造器
- public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
- //初始化顶点数和边的个数
- int vlen = vertexs.length;
-
- //初始化顶点, 复制拷贝的方式
- this.vertexs = new char[vlen];
- for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
- this.vertexs[i] = vertexs[i];
- }
-
- //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
- this.matrix = new int[vlen][vlen];
- for(int i = 0; i < vlen; i++) {
- for(int j= 0; j < vlen; j++) {
- this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
- }
- }
- //统计边的条数
- for(int i =0; i < vlen; i++) {
- for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
- if(this.matrix[i][j] != INF) {
- edgeNum++;
- }
- }
- }
-
- }
- public void kruskal() {
- int index = 0; //表示最后结果数组的索引
- //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
- //用来判断是否出现回路
- int[] ends = new int[edgeNum];
- //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
- EData[] rets = new EData[edgeNum];
- //统计最小生成树的总权值
- int totalWeight = 0;
-
- //获取图中 所有的边的集合 , 一共有12边
- EData[] edges = getEdges();
- System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
-
- //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
- sortEdges(edges);
-
- //遍历edges 数组,将边添加到最小生成树中时,判断是准备加入的边否形成了回路,如果没有,就加入 rets, 否则不能加入
- for(int i=0; i < edgeNum; i++) {
- //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
- int p1 = getPosition(edges[i].start);
- //获取到第i条边的第2个顶点
- int p2 = getPosition(edges[i].end);
-
- //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
- int m = getEnd(ends, p1);
- //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
- int n = getEnd(ends, p2);
- //是否构成回路
- if(m != n) { //没有构成回路
- ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点
- rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
- }
- }
- //
。 - //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
- System.out.println("最小生成树为");
- for(int i = 0; i < index; i++) {
- System.out.println(rets[i]);
- totalWeight += rets[i].weight;
- }
- System.out.println("最小生成树的权值为:" + totalWeight);
- }
- /**
- * 功能:对边进行排序处理, 冒泡排序
- * @param edges 边的集合
- */
- private void sortEdges(EData[] edges) {
- for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {
- for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
- if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换
- EData tmp = edges[j];
- edges[j] = edges[j+1];
- edges[j+1] = tmp;
- }
- }
- }
- }
- /**
- *
- * @param ch 顶点的值,比如'A','B'
- * @return 返回ch顶点对应的下标,如果找不到,返回-1
- */
- private int getPosition(char ch) {
- for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
- if(vertexs[i] == ch) {//找到
- return i;
- }
- }
- //找不到,返回-1
- return -1;
- }
- /**
- * 功能: 获取图中边,放到EData[] 数组中,后面我们需要遍历该数组
- * 是通过matrix 邻接矩阵来获取
- * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
- * @return
- */
- private EData[] getEdges() {
- int index = 0;
- //创建edges数组保存图的边
- EData[] edges = new EData[edgeNum];
- for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
- //本来j应该从i开始遍历,但是顶点自身的邻接矩阵的位置为0
- for(int j=i+1; j
//把自身为0的情况也排除,所以j = i + 1开始 - if(matrix[i][j] != INF) { //不是无穷大,说明i j 两个顶点之间有边
- //把边加入到edges数组中
- edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
- }
- }
- }
- return edges;
- }
- /**
- * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
- * @param ends : 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中,逐步形成
- * @param i : 表示传入的顶点对应的下标
- * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
- */
- private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
- while(ends[i] != 0) {
- i = ends[i];
- }
- return i;
- }
-
- }
-
- //创建一个类EData ,它的对象实例就表示一条边
- class EData {
- char start; //边的一个点
- char end; //边的另外一个点
- int weight; //边的权值
- //构造器
- public EData(char start, char end, int weight) {
- this.start = start;
- this.end = end;
- this.weight = weight;
- }
- //重写toString, 便于输出边信息
- @Override
- public String toString() {
- return "边 <" + start + ", " + end + "> 权值为= " + weight + "";
- }
- }
-
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原文地址:https://blog.csdn.net/Joker_ZJN/article/details/128206972