数学物理方程：球函数

• 轴对称问题和勒让德多项式
• 转动对称问题和连带勒让德函数
• 一般问题和球函数

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轴对称问题和勒让德多项式

球谐函数：

分离变量有：

其中，满足连带勒让德方程：

• 对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求ℓ必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作ℓ阶勒让德多项式
• 勒让德多项式系数递推公式：
• 
• 微分表示：
• 积分表示：
• 常用的勒让德多项式：
• 

##Python 实现 legendre Polynomial
 
import sympy as sym
 
x = sym.Symbol("x")
 
def Legendre_Polynomial(N,x):
    ##N:勒让德多项式的阶数
    ##x:自变量
 
    if N == 0:
        return 1
    elif N == 1:
        return x
    
    P0 = Legendre_Polynomial(0,x)
    P1 = Legendre_Polynomial(1,x)
 
    assert N>=2,"输入阶数N非正整数!!"
 
    for i in range(1,N):
        P  = (2*i+1)/(i+1)*x*P1 - i/(i+1)*P0
        P0 = P1
        P1 = P
    return sym.simplify(P1)
 
for i in range(10):
    print(Legendre_Polynomial(i,x))

1
x
1.5*x**2 - 0.5
x*(2.5*x**2 - 1.5)
4.375*x**4 - 3.75*x**2 + 0.375
x*(7.875*x**4 - 8.75*x**2 + 1.875)
14.4375*x**6 - 19.6875*x**4 + 6.5625*x**2 - 0.3125
x*(26.8125*x**6 - 43.3125*x**4 + 19.6875*x**2 - 2.1875)
50.2734375*x**8 - 93.84375*x**6 + 54.140625*x**4 - 9.84375*x**2 + 0.2734375
x*(94.9609375*x**8 - 201.09375*x**6 + 140.765625*x**4 - 36.09375*x**2 + 2.4609375)

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X = np.linspace(-1,1,100)
for i in range(0,11):
 
    if i == 0:
        Y = np.ones((X.shape))
        plt.plot(X,Y,label="orders:"+str(i))
    else:
        expression = Legendre_Polynomial(i,x)
        expression = sym.lambdify([x],expression,"numpy")
        Y = expression(X)
        plt.plot(X,Y,label="orders:"+str(i))
        
plt.legend()
plt.savefig("today.jpg")

• 轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为 

勒让德多项式的性质

• 奇偶性
• 零点定理：L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点
• 正交性：
• 模：
• 完备性：

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连带勒让德函数

本征值：

对应的本征函数：

• 奇偶性：
• 正交性：
• 模：
• 完备性：m相同的连带勒让德函数是完备的

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球函数

球函数方程的解为球函数：

球函数的性质

• 正交性：
• 
• 
• 完备性：

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拉普拉斯方程的非轴对称定解问题

• 关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为

• 连带勒让德多项式函数

• 连带勒让德多项式的微分表达式

• 几个连带勒让德多项式

母函数公式

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Gauss–Legendre algorithm 计算圆周率

• 可用于性能测试

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
tol = 1e-100000
max_times = 100000
a,b,t,p = 1,1/2**0.5,1/4,1
ans = np.zeros(max_times,np.float64)
ans[0] = (a+b)**2/4/t
for i in range(1,max_times):
    an = (a+b)/2
    bn = (a*b)**0.5
    tn = t - p*(a-an)**2
    pn = 2*p
    
    a = an
    b = bn
    t = tn
    p = pn
 
    ans[i] = (a+b)**2/4/t
 
    if ans[i]-ans[i-1] <= tol:
        ans = ans[:i]
        break
    
plt.plot(range(len(ans)),ans)
plt.show()

>>>ans
                         
array([2.91421356, 3.14057925, 3.14159265, 3.14159265])