【推导】线性变换与在基下的矩阵一一对应

前置定义 1　设 $T$ 是线性空间 $V_n$ 中的线性变换，在 $V_n$ 中取定一个基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$，如果这个基在变换 $T$ 下的像（用这个基线性表示）为
{ T ( α 1 ) = a 11 α 1 + a 21 α 2 + ⋯ + a n 1 α n ) T ( α 2 ) = a 12 α 1 + a 22 α 2 + ⋯ + a n 2 α n ) ⋯ ⋯ ⋯ T ( α n ) = a 1 n α 1 + a 2 n α 2 + ⋯ + a n n α n ) (1) \left\{

\right. \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧​​T(α1​)=a11​α1​+a21​α2​+⋯+an1​αn​)T(α2​)=a12​α1​+a22​α2​+⋯+an2​αn​)⋯⋯⋯T(αn​)=a1n​α1​+a2n​α2​+⋯+ann​αn​)​(1)
记 $T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=(T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n))$，则上式 $(6)$ 可表示为
$$T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \boldsymbol{A} =

(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​ ​
那么，$\mathbf{A}$ 就称为 线性变换 $T$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵。

定义详 “【推导】线性变换的矩阵表达式”。

---

根据前置定义 1，显然，矩阵 $\mathbf{A}$ 由基的像 $T({\mathbf{\alpha }}_1),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n)$ 唯一确定，即由线性变换 $T$ 可唯一地确定一个矩阵 $\mathbf{A}$。下面推导由一个矩阵 $\mathbf{A}$ 也可唯一地确定一个线性变换 $T$。

将 ${\mathbf{V}}_n$ 中的任意元素记为 $\mathbf{\alpha }={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i$，根据前置定义 1 的式 $(2)$，有
T ( ∑ i = 1 n x i α i ) = ∑ i = 1 n x i T ( α i ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯   , T ( α n ) ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A ( x 1 x 2 ⋮ x n )

T(i=1∑n​xi​αi​)​=i=1∑n​xi​T(αi​)=(T(α1​),T(α2​),⋯,T(αn​)) ​x1​x2​⋮xn​​ ​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A ​x1​x2​⋮xn​​ ​​
即
T [ ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ] = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) (3) T \left[ (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n)

(x1x2⋮xn)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

\right] = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A}

(x1x2⋮xn)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

\tag{3} T ​(α1​,α2​,⋯,αn​) ​x1​x2​⋮xn​​ ​ ​=(α1​,α2​,⋯,αn​)A ​x1​x2​⋮xn​​ ​(3)
上式 $(3)$ 唯一地确定一个变换 $T$，可以验证确定的变换 $T$ 是以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换。总之，以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换 $T$ 由关系式 $(3)$ 唯一确定。

综上所述，线性变换与矩阵之间有一一对应的关系。

由关系式 $(3)$，可见 $\mathbf{\alpha }$ 与 $T(\mathbf{\alpha })$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标分别为
α = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , T ( α ) = A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \boldsymbol{\alpha} =

, \hspace{1em} T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{A} α= ​x1​x2​⋮xn​​ ​,T(α)=A ​x1​x2​⋮xn​​ ​
即按坐标表示，有
$$T(\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }$$