• 【证明】线性变换在两个基下的矩阵相似


    前置定义 1(基变换公式、过渡矩阵) 设 α 1 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,,αn β 1 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n β1,,βn 是线性空间 V n V_n Vn 中的两个基,
    { β 1 = p 11 α 1 + p 21 α 2 + ⋯ + p n 1 α n β 2 = p 12 α 1 + p 22 α 2 + ⋯ + p n 2 α n ⋯ β n = p 1 n α 1 + p 2 n α 2 + ⋯ + p n n α n \left\{

    β1=p11α1+p21α2++pn1αnβ2=p12α1+p22α2++pn2αnβn=p1nα1+p2nα2++pnnαn" role="presentation">β1=p11α1+p21α2++pn1αnβ2=p12α1+p22α2++pn2αnβn=p1nα1+p2nα2++pnnαn
    \right. β1=p11α1+p21α2++pn1αnβ2=p12α1+p22α2++pn2αnβn=p1nα1+p2nα2++pnnαn
    α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn n n n 个有序向量记作 ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) (α1,α2,,αn),记 n n n 阶矩阵 P = ( p i j ) \boldsymbol{P} = (p_{ij}) P=(pij),利用向量和矩阵的形式, ( 1 ) (1) (1) 式可表示为
    ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) P (\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{P} (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)P
    ( 1 ) (1) (1) 式或 ( 2 ) (2) (2) 式称为 基变换公式,矩阵 P \boldsymbol{P} P 称为由基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn 到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n β1,β2,,βn 的过渡矩阵。

    定义详见 “基变换与坐标变换”。

    前置定义 2 设 T T T 是线性空间 V n V_n Vn 中的线性变换,在 V n V_n Vn 中取定一个基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn,如果这个基在变换 T T T 下的像(用这个基线性表示)为
    { T ( α 1 ) = a 11 α 1 + a 21 α 2 + ⋯ + a n 1 α n T ( α 2 ) = a 12 α 1 + a 22 α 2 + ⋯ + a n 2 α n ⋯ ⋯ ⋯ T ( α n ) = a 1 n α 1 + a 2 n α 2 + ⋯ + a n n α n \left\{

    T(α1)=a11α1+a21α2++an1αnT(α2)=a12α1+a22α2++an2αnT(αn)=a1nα1+a2nα2++annαn" role="presentation" style="position: relative;">T(α1)=a11α1+a21α2++an1αnT(α2)=a12α1+a22α2++an2αnT(αn)=a1nα1+a2nα2++annαn
    \right. T(α1)=a11α1+a21α2++an1αnT(α2)=a12α1+a22α2++an2αn⋯⋯⋯T(αn)=a1nα1+a2nα2++annαn
    T ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯   , T ( α n ) ) T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (T(\boldsymbol{\alpha}_1), T(\boldsymbol{\alpha}_2), \cdots, T(\boldsymbol{\alpha}_n)) T(α1,α2,,αn)=(T(α1),T(α2),,T(αn)),则上式 ( 6 ) (6) (6) 可表示为
    T ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} T(α1,α2,,αn)=(α1,α2,,αn)A
    其中
    A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \boldsymbol{A} =
    (a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)" role="presentation" style="position: relative;">(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)
    A= a11a21an1a12a22an2a1na2nann

    那么, A \boldsymbol{A} A 就称为 线性变换 T T T 在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn 下的矩阵

    定义详见 “【推导】线性变换的矩阵表达式”。


    定理 1 设线性空间 V n V_n Vn 中取定两个基
    α 1 , α 2 , ⋯   , α n ; β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n; \hspace{1em} \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n α1,α2,,αn;β1,β2,,βn
    由基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn 到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n β1,β2,,βn 的过渡矩阵为 P \boldsymbol{P} P V n V_n Vn 中的线性变换 T T T 在这两个基下的矩阵依次为 A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B,那么 B = P − 1 A P \boldsymbol{B} = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} B=P1AP

    证明 因为基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,,αn 到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n β1,β2,,βn 的过渡矩阵为 P \boldsymbol{P} P,所以根据前置定义 1,有
    ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) P (1) (\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{P} \tag{1} (β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)P(1)
    由于 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n β1,β2,,βn 线性无关,所以矩阵 P \boldsymbol{P} P 可逆。有
    ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) P − 1 (2) (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) \boldsymbol{P}^{-1} \tag{2} (α1,α2,,αn)=(β1,β2,,βn)P1(2)
    因为线性变换 T T T 在这两个基下的矩阵依次为 A \boldsymbol{A} A B \boldsymbol{B} B,所以根据前置定义 2,有
    T ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A (3) T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \tag{3} T(α1,α2,,αn)=(α1,α2,,αn)A(3)

    T ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) B (4) T(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) = (\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n) \boldsymbol{B} \tag{4} T(β1,β2,,βn)=(β1,β2,,βn)B(4)

    于是,依次代入式 ( 4 ) (4) (4)、式 ( 1 ) (1) (1)、式 ( 3 ) (3) (3)、式 ( 2 ) (2) (2),有
    ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) B = T ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = T [ ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) P ] = [ T ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) ] P = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A P = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) P − 1 A P

    (β1,β2,,βn)B=T(β1,β2,,βn)=T[(α1,α2,,αn)P]=[T(α1,α2,,αn)]P=(α1,α2,,αn)AP=(β1,β2,,βn)P1AP" role="presentation">(β1,β2,,βn)B=T(β1,β2,,βn)=T[(α1,α2,,αn)P]=[T(α1,α2,,αn)]P=(α1,α2,,αn)AP=(β1,β2,,βn)P1AP
    (β1,β2,,βn)B=T(β1,β2,,βn)=T[(α1,α2,,αn)P]=[T(α1,α2,,αn)]P=(α1,α2,,αn)AP=(β1,β2,,βn)P1AP
    因为 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n β1,β2,,βn 线性无关,所以
    B = P − 1 A P \boldsymbol{B} = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} B=P1AP
    得证。

  • 相关阅读:
    面试不到10分钟就被赶出来了,问的实在是太变态了...
    大一学生网页课程作业 南京介绍网页设计 学生家乡网页设计作品静态 HTML网页模板源码 html我的家乡网页作业
    使用 Docker 部署 TailChat 开源即时通讯平台
    第 364 场 LeetCode 周赛题解
    git切换远程仓库源步骤
    YOLOV5学习笔记(六)——优化网络架构
    毕设 C2C网上拍卖系统论文
    R语言ggplot2可视化:可视化多分类变量箱图(Box Plot)、自定义箱图箱体的填充色、添加主标题、副标题、题注信息
    大数据技术之Hadoop:使用命令操作HDFS(四)
    全数字仿真测试平台V-Sim TP
  • 原文地址:https://blog.csdn.net/Changxing_J/article/details/128196445