【量子学习笔记】纯态、混合态、直积态及纠缠态的概念区分及理解

声明：以下所有内容仅代表个人观点和理解，作为学习笔记便于自行查阅理解使用。

一、纯态与混合态${}^{[1]}$

（一）纯态（Pure state）

1. 纯态：量子系统的量子态 $|\psi ⟩$ 是一个确定的态。
2. 密度矩阵表示：$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |.$
3. $tr({\rho }^2)=1.$

（二）混合态（Mixed state）

1. 混合态：量子系统可能以一定概率 $p_1$ 处于量子态 $|{\psi }_1⟩$，以一定概率 $p_2$ 处于量子态 $|{\psi }_2⟩$，…，以 $p_n$ 的概率处于量子态 $|{\psi }_n⟩$。因此我们可以从统计的角度将混合态看作是不同纯态的概率分布，对相同的混合态进行统计，这个混合态应当分别以 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 的概率处于量子态 $|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩,\dots ,|{\psi }_n⟩$。
2. 密度矩阵表示：$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|.$
3. $tr({\rho }^2)<1.$

通常我们可以通过计算 $tr({\rho }^2)$ 来判断一个量子系统是处于纯态还是混合态。

二、直积态

复合系统的量子态 $|\psi ⟩$ 可以表示为若干个孤立子系统 $|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩,\dots ,|{\psi }_n⟩$ 的直积态形式（这些子系统之间不存在纠缠，互相独立），即 $|\psi ⟩=|{\psi }_1⟩\otimes |{\psi }_2⟩\otimes \dots \otimes |{\psi }_n⟩.$

三、纠缠态（Entangled state）

如果一个量子系统不能写成若干个单量子比特系统的直积态表示，则认为该量子系统处于纠缠态${}^{[2]}$。常见的两粒子纠缠态是如下的四种贝尔态（Bell state）。
∣ Φ + ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 , ∣ Φ − ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 , ∣ Ψ + ⟩ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 , ∣ Ψ − ⟩ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 .

∣Φ+⟩=2 ​∣00⟩+∣11⟩​,∣Φ−⟩=2 ​∣00⟩−∣11⟩​,∣Ψ+⟩=2 ​∣01⟩+∣10⟩​,∣Ψ−⟩=2 ​∣01⟩−∣10⟩​.​
不难发现，以上四种量子态均不能写作 $|\varphi ⟩=(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)\otimes (\gamma |0⟩+\delta |1⟩)$ 的直积态形式${}^{[3]}$。

实际上，这四种贝尔态均为纯态，我们可以通过计算 $tr({\rho }^2)$ 来验证这一点，从而加深我们对上述内容的理解。其详细计算过程如下：

1. 首先分别计算这 4 种贝尔态的密度矩阵 $\rho$，不妨设上述 4 种贝尔态的密度矩阵分别为 ${\rho }_0,{\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3$，则
   ρ 0 = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ + ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 1 2 ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) , ρ 1 = ∣ Φ − ⟩ ⟨ Φ − ∣ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ − ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 1 2 ( 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 ) , ρ 2 = ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 01 ∣ + ∣ ⟨ 10 ∣ 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ) , ρ 3 = ∣ Ψ − ⟩ ⟨ Ψ − ∣ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 01 ∣ − ∣ ⟨ 10 ∣ 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ) .
   ρ0=|Φ+⟩⟨Φ+|=|00⟩+|11⟩2⋅⟨00|+|⟨11|2=|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=12(1001000000001001),ρ1=|Φ−⟩⟨Φ−|=|00⟩−|11⟩2⋅⟨00|−|⟨11|2=|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=12(100−100000000−1001),ρ2=|Ψ+⟩⟨Ψ+|=|01⟩+|10⟩2⋅⟨01|+|⟨10|2=|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=12(0000011001100000),ρ3=|Ψ−⟩⟨Ψ−|=|01⟩−|10⟩2⋅⟨01|−|⟨10|2=|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=12(000001−100−1100000)." role="presentation" style="position: relative;">ρ0=|Φ+⟩⟨Φ+|ρ1=|Φ−⟩⟨Φ−|ρ2=|Ψ+⟩⟨Ψ+|ρ3=|Ψ−⟩⟨Ψ−|=|00⟩+|11⟩2–√⋅⟨00|+|⟨11|2–√=|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=12⎛⎝⎜⎜⎜1001000000001001⎞⎠⎟⎟⎟,=|00⟩−|11⟩2–√⋅⟨00|−|⟨11|2–√=|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=12⎛⎝⎜⎜⎜100−100000000−1001⎞⎠⎟⎟⎟,=|01⟩+|10⟩2–√⋅⟨01|+|⟨10|2–√=|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=12⎛⎝⎜⎜⎜0000011001100000⎞⎠⎟⎟⎟,=|01⟩−|10⟩2–√⋅⟨01|−|⟨10|2–√=|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=12⎛⎝⎜⎜⎜000001−100−1100000⎞⎠⎟⎟⎟.$$\begin{array}{rl}{\rho }_0=|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩⟨{\mathrm{\Phi }}^{+}|& =\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}\cdot \frac{⟨00|+|⟨11|}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_1=|{\mathrm{\Phi }}^{-}⟩⟨{\mathrm{\Phi }}^{-}|& =\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}\cdot \frac{⟨00|-|⟨11|}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{|00⟩⟨00|-|00⟩⟨11|-|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_2=|{\mathrm{\Psi }}^{+}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}^{+}|& =\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}\cdot \frac{⟨01|+|⟨10|}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_3=|{\mathrm{\Psi }}^{-}⟩⟨{\mathrm{\Psi }}^{-}|& =\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}\cdot \frac{⟨01|-|⟨10|}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{|01⟩⟨01|-|01⟩⟨10|-|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$
   ρ0​=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρ1​=∣Φ−⟩⟨Φ−∣ρ2​=∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣ρ3​=∣Ψ−⟩⟨Ψ−∣​=2 ​∣00⟩+∣11⟩​⋅2 ​⟨00∣+∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=21​⎝⎜⎜⎛​1001​0000​0000​1001​⎠⎟⎟⎞​,=2 ​∣00⟩−∣11⟩​⋅2 ​⟨00∣−∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=21​⎝⎜⎜⎛​100−1​0000​0000​−1001​⎠⎟⎟⎞​,=2 ​∣01⟩+∣10⟩​⋅2 ​⟨01∣+∣⟨10∣​=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​0110​0110​0000​⎠⎟⎟⎞​,=2 ​∣01⟩−∣10⟩​⋅2 ​⟨01∣−∣⟨10∣​=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​01−10​0−110​0000​⎠⎟⎟⎞​.​
2. 依次计算 ${\rho }_0^2,{\rho }_1^2,{\rho }_2^2,{\rho }_3^2$ 如下：
   ρ 0 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 ⋅ ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 4 = 1 2 ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) , ρ 1 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 ⋅ ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 = 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ − ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 4 = 1 2 ( 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 ) , ρ 2 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 ⋅ ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 2 ( ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ ) 4 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ) , ρ 2 2 = ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 ⋅ ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ 2 = 2 ( ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ − ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ − ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ ) 4 = 1 2 ( 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ) .
   ρ02=|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2⋅|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=2(|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|)4=12(1001000000001001),ρ12=|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2⋅|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=2(|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|−|11⟩⟨11|)4=12(100−100000000−1001),ρ22=|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2⋅|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=2(|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)4=12(0000011001100000),ρ22=|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2⋅|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=2(|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)4=12(000001−100−1100000)." role="presentation" style="position: relative;">ρ20ρ21ρ22ρ22=|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2⋅|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=2(|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|)4=12⎛⎝⎜⎜⎜1001000000001001⎞⎠⎟⎟⎟,=|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2⋅|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|−|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|2=2(|00⟩⟨00|−|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|−|11⟩⟨11|)4=12⎛⎝⎜⎜⎜100−100000000−1001⎞⎠⎟⎟⎟,=|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2⋅|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=2(|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)4=12⎛⎝⎜⎜⎜0000011001100000⎞⎠⎟⎟⎟,=|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2⋅|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|2=2(|01⟩⟨01|−|01⟩⟨10|−|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)4=12⎛⎝⎜⎜⎜000001−100−1100000⎞⎠⎟⎟⎟.$$\begin{array}{rl}{\rho }_0^2& =\frac{|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}\cdot \frac{|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}\\ & =\frac{2(|00⟩⟨00|+|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|)}{4}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_1^2& =\frac{|00⟩⟨00|-|00⟩⟨11|-|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}\cdot \frac{|00⟩⟨00|-|00⟩⟨11|-|11⟩⟨00|+|11⟩⟨11|}{2}\\ & =\frac{2(|00⟩⟨00|-|00⟩⟨11|+|11⟩⟨00|-|11⟩⟨11|)}{4}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_2^2& =\frac{|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}\cdot \frac{|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}\\ & =\frac{2(|01⟩⟨01|+|01⟩⟨10|+|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)}{4}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),\\ \\ {\rho }_2^2& =\frac{|01⟩⟨01|-|01⟩⟨10|-|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}\cdot \frac{|01⟩⟨01|-|01⟩⟨10|-|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|}{2}\\ & =\frac{2(|01⟩⟨01|-|01⟩⟨10|-|10⟩⟨01|+|10⟩⟨10|)}{4}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$
   ρ02​ρ12​ρ22​ρ22​​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​⋅2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=42(∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​1001​0000​0000​1001​⎠⎟⎟⎞​,=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​⋅2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=42(∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣−∣11⟩⟨11∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​100−1​0000​0000​−1001​⎠⎟⎟⎞​,=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​⋅2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=42(∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​0110​0110​0000​⎠⎟⎟⎞​,=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​⋅2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=42(∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​01−10​0−110​0000​⎠⎟⎟⎞​.​
3. 计算 $tr({\rho }^2)$：易知，$tr({\rho }_0^2)=tr({\rho }_1^2)=tr({\rho }_2^2)=tr({\rho }_3^2)=1.$

由此可见，两量子比特系统中的四种贝尔态均为纯态。

注意：虽然处于贝尔态的两量子比特系统 $AB$ 整体呈现为纯态，但若只关注该系统中的其中单量子比特系统 $A$，则该系统处于混态。我们不妨以 $|{\Phi }^{+}⟩$ 为例，通过计算偏迹（partial trace）来验证这一点：
ρ A B = ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 ⋅ ⟨ 00 ∣ + ∣ ⟨ 11 ∣ 2 = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 2 , ρ A = t r B ( ρ A B ) = t r 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) + t r 2 ( ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ ) 2 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ⟨ 0 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 0 ∣ ⟨ 0 ∣ 1 ⟩ + ∣ 0 ⟩ ⟨ 1 ∣ ⟨ 1 ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ⟨ 1 ∣ 1 ⟩ 2 = ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ 2 = I 2 .

ρAB=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρA=trB​(ρAB)​=2 ​∣00⟩+∣11⟩​⋅2 ​⟨00∣+∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​,=2tr2​(∣00⟩⟨00∣)+tr2​(∣11⟩⟨00∣)+tr2​(∣00⟩⟨11∣)+tr2​(∣11⟩⟨11∣)​=2∣0⟩⟨0∣⟨0∣0⟩+∣1⟩⟨0∣⟨0∣1⟩+∣0⟩⟨1∣⟨1∣0⟩+∣1⟩⟨1∣⟨1∣1⟩​=2∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣​=2I​.​
很明显，$tr((\frac{I}{2}{)}^2)=\frac{1}{2}<1$，因此量子系统 $A$ 处于混态。

四、亲手来造一个混合态（两种贝尔态的混合）！

前文我们提及可以将混合态看作是多个不同纯态分别以不同概率混合在一起的结果，因此我们是否可以制造一种处于混合态的纠缠态来帮助我们更好地理解这个概念？就以前文提到的贝尔态为例，直接将 $|{\Phi }^{+}⟩$ 和 $|{\Phi }^{-}⟩$、$|{\Psi }^{+}⟩$ 和 $|{\Psi }^{-}⟩$ 混合在一起显然不是一个聪明的选择（其正负项会出现相消），我们不妨考虑一个以 $\frac{1}{2}$ 的概率处于 $|{\Phi }^{+}⟩$ 态，而以 $\frac{1}{2}$ 的概率处于 $|{\Psi }^{+}⟩$ 态的量子态 $|\psi ⟩$。

由此，我们可以写出其密度矩阵表示如下：
ρ = 1 2 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) = ∣ 00 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 00 ⟩ ⟨ 11 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 01 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 01 ∣ + ∣ 10 ⟩ ⟨ 10 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 00 ∣ + ∣ 11 ⟩ ⟨ 11 ∣ 4 = 1 4 ( 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 ) .

ρ​=21​(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)=4∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=41​⎝⎜⎜⎛​1001​0110​0110​1001​⎠⎟⎟⎞​.​

接下来，我们就借助甄别纯态和混合态的神器 $tr({\rho }^2)$ 来判断一下这个纠缠态到底是不是我们想象中的混合态。

ρ 2 = 1 4 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) 2 = 1 4 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ ) = 1 8 ( 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 ) .

ρ2​=41​(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)2=41​(∣Φ+⟩⟨Φ+∣+∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣)=81​⎝⎜⎜⎛​1001​0110​0110​1001​⎠⎟⎟⎞​.​
不难发现，此时 $tr({\rho }^2)=\frac{1}{2}<1$，因此该纠缠态是一个混合态，它分别以 $\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ 的概率处于 $|{\Phi }^{+}⟩$ 态和 $|{\Psi }^{+}⟩$ 态这两个纯态系统。

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References

[1] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2012).
[2] 量易简-量子纠缠与贝尔不等式.
[3] 量子态和密度矩阵，迹和偏迹的数学表示.