必背积分表

  有19个积分公式，是必须死记硬背下来的。这是因为不管是应付考试还是实际工作中应用，如果每个积分都去推导，那么效率是非常低的，所以对于常见的不定积分是必须要死记硬背下来的。我把需要背的，全部列举出来：

幂函数

$$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

对数函数

$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$

指数函数

$$\begin{gathered} \int e^{x}dx=e^x+C \\ \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \end{gathered}$$

双曲函数

$$\begin{gathered} \int \sinh xdx=\cosh x+C \\ \int \cosh xdx=\sinh x+C \end{gathered}$$

反双曲函数

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}={\sinh }^{-1}(\frac{x}{a})+C,a>0 \\ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}={\cosh }^{-1}(\frac{x}{a})+C,x>a>0 \end{gathered}$$
  反双曲函数中要注意反双曲余弦要$x>a$,如果不满足就要分成几部分加起来积分。

三角函数

  三角函数十分复杂啊，要背的也是贼多，总共有8个之多：
$$\begin{gathered} \int \sin xdx=-\cos x+C \\ \int \cos xdx=\sin x+C \\ \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C \\ \int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C \\ \int \sec x\tan xdx=\sec x+C \\ \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C=-\ln |\csc x|+C \end{gathered}$$

反三角函数

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C \\ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\arccos |\frac{a}{x}|+C \\ \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C \end{gathered}$$
  这19个积分公式，三角函数占了8个，加上反三角函数又有3个，但是考试时是经常出现，不能说因为难就不去背三角函数的积分。