0-1 背包问题

什么是 0-1 背包问题

假设，有一堆种类各不相同的宝石，还有一个背包，这个背包承重能力有限为 17。怎么让背包中装的宝石最值钱。装到包中用 1 表示，不装到包中用 0 表示，所以解是由 0，1 组成的序列。简称 0-1 背包问题。
下表是宝石的重量和价值

如何求解

从问题可以看出，已知数据是每个宝石的重量和价值，背包的承重 $W$。
用 $w_i$ 表示第 $i$ 个宝石的重量，$v_i$ 表示第 $i$ 个宝石的价值，装入背包的宝石的最大价值可表示为：
$$max\sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i$$
且满足如下约束条件
∑ i = 1 n w i x i ≤ W ， x i ∈ { 0 , 1 } \sum_{i=1}^nw_ix_i \le W，x_i \in\{0,1\} i=1∑n​wi​xi​≤W，xi​∈{0,1}
如何求得满足约束条件的最大值呢？
分析一下，假如 $x_n$ 要装入包中，那么 { x n − 1 , . . . , x 1 } \{x_{n-1},...,x_1\} {xn−1​,...,x1​} 肯定是 $W-w_n$ 的解，假如 $x_n$ 不装入包中，那么 { x n − 1 , . . . , x 1 } \{x_{n-1},...,x_1\} {xn−1​,...,x1​} 肯定是 $W$ 的解。

通过上面的分析我们可以得出，如下结论：
c [ i , w ] = { 0 , i = 0 或 w = 0 c [ i − 1 , w ] , w i > w m a x { c [ i − 1 , w − w i ] + v i , c [ i − 1 , w ] } , i > 0 且 w i ≤ w c[i,w]=\left\{

\right. c[i,w]=⎩⎪⎨⎪⎧​​0c[i−1,w]max{c[i−1,w−wi​]+vi​,c[i−1,w]}​,i=0或w=0,wi​>w,i>0且wi​≤w​
其中 $c[i,w]$ 表示背包容量为 $w$ 时 $i$ 个物品导致的最优解的总价值。我们要求的目标是 $c[n,W]$
求解思路是找出 $w$ 从 $[0,W]$ 的所有解，然后从中找出最优解。
这里用到的算法策略是动态规划法。

对应的求解程序

#include 
#include 
/* 
n 物品数量
W 背包容量
Weights 物品重量
Values 物品价值
求出 c[i,w] 的所有值,其中 1<= i <=n,1<=w<=W
*/
int **KnapsackDP(int n, int W, int *Weights, float *Values)
{
    int i, w;
    
    int **c = (int **)calloc(n + 1, sizeof(int *));
    for (i = 0; i <= n; i++)
        c[i] = (int *)calloc(W + 1, sizeof(int));
    //求解
    for (i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (w = 1; w <= W; w++)
        {
            if (Weights[i - 1] <= w)
            {
                if (Values[i - 1] + c[i - 1][w - Weights[i - 1]] > c[i - 1][w])
                {
                    c[i][w] = Values[i - 1] + c[i - 1][w - Weights[i - 1]];
                }
                else
                {
                    c[i][w] = c[i - 1][w];
                }
            }
            else
            {
                c[i][w] = c[i - 1][w];
            }
        }
    }
    return c;
}
void OutputKnapsackDP(int n, int W, int *Weights, float *Values, int **c)
{
    int x[n];
    int i;
    for (i = n; i > 1; i--)
    {
        if (c[i][W] == c[i - 1][W])
            x[i - 1] = 0;
        else
        {
            x[i - 1] = 1;
            W = W - Weights[i - 1];
        }
    }
    if (c[1][W] == 0)
        x[0] = 0;
    else
        x[1] = 1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        if (x[i] == 1)
        {
            printf("Weigh: %d,Value: %f\n", Weights[i], Values[i]);
        }
    }
}

int main(void)
{
    int n = 5, W = 17;

    int Weights[] = {3, 4, 7, 8, 9};
    float Values[] = {4, 5, 10, 11, 13};
    int **c = KnapsackDP(n, W, Weights, Values);

    OutputKnapsackDP(n, W, Weights, Values, c);
}

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