与堆和堆排序相关的问题

完全二叉树中如果每棵子树的最大值都在顶部就是大根堆；完全二叉树中如果每棵子树的最小值都在顶部就是小根堆。

Java 语言中的 java.util.PriorityQueue，就是堆结构。

因为是用用数组表示完全二叉树，所以有如下两个换算关系，也就是堆的两种表示情况：

情况一，如果使用数组 0 号位置，那么对于 i 位置来说，它的：

• 左孩子下标：2 * i + 1

• 右孩子下标： 2 * i + 2

• 父节点下标： （i - 1）/ 2

情况二，如果不用数组 0 号位置，那么对于 i 位置来说，它的：

• 左孩子下标：2 * i 即：i << 1

• 右孩子下标：2 * i + 1 即：i << 1 | 1

• 父节点下标：i / 2 即：i >> 1

如果是小根堆（下标从 0 开始），

对每个元素 A[i]，都需要满足 A[i * 2 + 1] >= A[i] 和 A[i * 2 + 2] >= A[i]；

如果是小根堆（下标从 0 开始），

对每个元素 A[i]，都需要满足 A[i * 2 + 1] <= A[i] 和 A[i * 2 + 2] <= A[i]；

大根堆同理。

堆的数据结构定义如下，以大根堆为例，以下是伪代码

  // 大根堆
  public static class MyMaxHeap {
    // 用于存堆的数据
    private int[] heap;
    // 堆最大容纳数据的数量
    private final int limit;
    // 堆当前的容量
    private int heapSize;
    
    // 堆初始化
    public MyMaxHeap(int limit) {
      heap = new int[limit];
      this.limit = limit;
      heapSize = 0;
    }
    // 判断堆是否为空
    public boolean isEmpty() {
      return heapSize == 0;
    }
    // 判断堆是否满
    public boolean isFull() {
      return heapSize == limit;
    }
    public void push(int value) {
      // TODO 入堆
      // 注意：入堆后，也要保持大根堆的状态
    }
    public int pop() {
      // TODO 最大值出堆
      // 注意：出堆后，也要保持大根堆的状态
    }
  }

由上述数据结构定义可知，核心方法就是 push 和 pop，在每次操作后，要动态调整堆结构，使之保持大根堆的结构。

要完成这两个操作，就需要利用到堆的两个基本操作：

一个是 HeapInsert，一个是 Heapify。

Heapify 操作#

Heapify 就是堆化的过程，以小根堆为例，示例说明

假设原始数组为：{3,2,1,4,5}，初始状态如下

首先从头结点 3 开始，先找到 3 的左右孩子中较小的一个进行交换，现在较小的是右孩子 1，交换后是如下情况

互换后，3 号结点已经没有左右孩子了，停止操作。

然后按顺序继续处理 2 结点，2 结点已经比左右孩子都小了，无需进行交换。

接下来是 4 结点和 5 结点，都没有左右孩子，就无需再做操作。

整个流程就是，每个结点（假设为 X )去找自己的左右孩子中较小的那个（加设为 Y），然后X 和 Y 交换位置，交换后，看 X 是否继续有孩子结点，往复这个过程，一直到整个二叉树遍历完成。

完整代码如下：

public class Solution {
  public static void heapify(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length <= 1) {
      return;
    }
    for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
      heapify(arr, i, arr.length);
    }
  }
  private static void heapify(int[] arr, int i, int n) {
    int left = 2 * i + 1;
    while (left < n) {
      int min = left + 1 < n && arr[left + 1] < arr[left] ? left + 1 : left;
      if (arr[i] <= arr[min]) {
        break;
      }
      swap(arr, i, min);
      i = min;
      left = 2 * i + 1;
    }
  }
 
  private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    if (i != j) {
      arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
      arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
      arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }
  }
}

测评链接：LintCode 130 · Heapify

HeapInsert 操作#

整个过程如下，以小根堆为例，从数组最后一个元素 X 开始，一直找其父节点 A，如果X 比 A 小，X 就和 A 交换，然后来到父节点 A，继续往上找 A 的父节点 B，如果 A 比 B 小，则把 A 和 B 交换……一直找到某个结点的头结点不比这个结点大，这个节点就可以停止移动了。以一个示例说明

假设原始数组为：{3,2,1,4,5}，初始状态如下

从最后一个元素 5 开始，5 的父节点是 2，正好满足，无需继续往上找父节点，然后继续找倒数第二个位置 4 的父节点，也比父节点 2 要大，所以 4 节点也不需要动。

接下来是 1 结点，其父结点是 3 结点，所以此时要把 3 和 1 交换，变成如下样子

然后是 2 结点，2 结点的父节点 是 1 ，无需交换，然后是 1 结点，头结点，停止遍历，整个过程完毕。

HeapInsert 操作的完整代码如下

    private void heapInsert(int[] arr, int i) {
      while (arr[i] > arr[(i - 1) / 2]) {
        // 一直网上找
        swap(arr, i, (i - 1) / 2);
        i = (i - 1) / 2;
      }
    }

无论是 HeapInsert 还是 Heapify，整个过程时间复杂度是 O(logN)，N 是二叉树结点个数，其高度是 logN。

有了 Heapify 和 HeapInsert 两个过程，整个堆的 pop 操作和 push 操作都迎刃而解。

    public void push(int value) {
    // 堆满了，不能入堆
      if (heapSize == limit) {
        throw new RuntimeException("heap is full");
      }
      // 把最后一个位置填充上，然后往小做 heapInsert 操作
      heap[heapSize] = value;
      // value  heapSize
      heapInsert(heap, heapSize++);
    }
 
    public int pop() {
      // 弹出的值一定是头结点
      int ans = heap[0];
      // 头结点弹出后，直接放到最后一个位置，然后往上做 heapify
      // 由于 heapSize 来标识堆的大小，heapSize--，就等于把头结点删掉了。
      swap(heap, 0, --heapSize);
      heapify(heap, 0, heapSize);
      return ans;
    }

堆排序#

了解了 HeapInsert 和 Heapify 过程，堆排序过程，也就是利用了这两个方法，流程如下

第一步：先让整个数组都变成大根堆结构，建立堆的过程:

如果使用从上到下的方法，时间复杂度为O(N*logN)。

如果使用从下到上的方法，时间复杂度为O(N)。

第二步：把堆的最大值和堆末尾的值交换，然后减少堆的大小之后，再去调整堆，一直周而复始，时间复杂度为O(N*logN) 。

第三步：把堆的大小减小成0之后，排序完成。

堆排序额外空间复杂度O(1)

堆排序完整代码如下

import java.util.Arrays;
import java.util.PriorityQueue;
 
public class Code_HeapSort {
 
  public static void heapSort(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length < 2) {
      return;
    }
    // O(N*logN)
    //  for (int i = 0; i < arr.length; i++) { // O(N)
    //   heapInsert(arr, i); // O(logN)
    //  }
    // O(N)
    for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
      heapify(arr, i, arr.length);
    }
    int heapSize = arr.length;
    swap(arr, 0, --heapSize);
    // O(N*logN)
    while (heapSize > 0) { // O(N)
      heapify(arr, 0, heapSize); // O(logN)
      swap(arr, 0, --heapSize); // O(1)
    }
  }
 
  // arr[index]刚来的数，往上
  public static void heapInsert(int[] arr, int index) {
    while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]) {
      swap(arr, index, (index - 1) / 2);
      index = (index - 1) / 2;
    }
  }
 
  // arr[index]位置的数，能否往下移动
  public static void heapify(int[] arr, int index, int heapSize) {
    int left = index * 2 + 1;
    while (left < heapSize) {
      int largest = left + 1 < heapSize && arr[left + 1] > arr[left] ? left + 1 : left;
      largest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index;
      if (largest == index) {
        break;
      }
      swap(arr, largest, index);
      index = largest;
      left = index * 2 + 1;
    }
  }
 
  public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
    int tmp = arr[i];
    arr[i] = arr[j];
    arr[j] = tmp;
  }
}

与堆排序相关的一个问题#

题目描述

已知一个几乎有序的数组，几乎有序是指，如果把数组排好顺序的话，每个元素移动的距离一定不超过k，并且k相对于数组长度来说是比较小的，请选择一个合适的排序策略，对这个数组进行排序。(从小到大)

本题的主要思路就是利用堆排序：

先把 k 个数进堆，然后再加入一个，弹出一个（加入和弹出过程一定不会超过 k 次），最后堆里面剩下的继续弹出即可。

时间复杂度是O(N*logK)

完整代码如下(含对数程序)

import java.util.Arrays;
import java.util.PriorityQueue;
 
public class Code_DistanceLessK {
  public static void sortedArrDistanceLessK(int[] arr, int k) {
    k = Math.min(arr.length - 1, k);
    PriorityQueue<Integer> heap = new PriorityQueue<>();
    int i = 0;
    for (; i < k + 1; i++) {
      heap.offer(arr[i]);
    }
    int index = 0;
    for (; i < arr.length; i++) {
      heap.offer(arr[i]);
      arr[index++] = heap.poll();
    }
    while (!heap.isEmpty()) {
      arr[index++] = heap.poll();
    }
  }
 
  // for test
  public static void comparator(int[] arr, int k) {
    Arrays.sort(arr);
  }
 
  // for test
  public static int[] randomArrayNoMoveMoreK(int maxSize, int maxValue, int K) {
    int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
    }
    // 先排个序
    Arrays.sort(arr);
    // 然后开始随意交换，但是保证每个数距离不超过K
    // swap[i] == true, 表示i位置已经参与过交换
    // swap[i] == false, 表示i位置没有参与过交换
    boolean[] isSwap = new boolean[arr.length];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      int j = Math.min(i + (int) (Math.random() * (K + 1)), arr.length - 1);
      if (!isSwap[i] && !isSwap[j]) {
        isSwap[i] = true;
        isSwap[j] = true;
        int tmp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = tmp;
      }
    }
    return arr;
  }
 
  // for test
  public static int[] copyArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
      return null;
    }
    int[] res = new int[arr.length];
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
      res[i] = arr[i];
    }
    return res;
  }
 
  // for test
  public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
    if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
      return false;
    }
    if (arr1 == null) {
      return true;
    }
    if (arr1.length != arr2.length) {
      return false;
    }
    for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
      if (arr1[i] != arr2[i]) {
        return false;
      }
    }
    return true;
  }
 
  // for test
  public static void printArray(int[] arr) {
    if (arr == null) {
      return;
    }
    for (int j : arr) {
      System.out.print(j + " ");
    }
    System.out.println();
  }
 
  // for test
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("test begin");
    int testTime = 500000;
    int maxSize = 100;
    int maxValue = 100;
    boolean succeed = true;
    for (int i = 0; i < testTime; i++) {
      int k = (int) (Math.random() * maxSize) + 1;
      int[] arr = randomArrayNoMoveMoreK(maxSize, maxValue, k);
      int[] arr1 = copyArray(arr);
      int[] arr2 = copyArray(arr);
      sortedArrDistanceLessK(arr1, k);
      comparator(arr2, k);
      if (!isEqual(arr1, arr2)) {
        succeed = false;
        System.out.println("K : " + k);
        printArray(arr);
        printArray(arr1);
        printArray(arr2);
        break;
      }
    }
    System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
  }
}