传输线理论基础01——相关定义、信号速率、分布参数与电报方程

前言

一直以来都对高频信号、信号完整性、传输线、分布参数这些概念似懂非懂，上学时没学过相关课程，这导致我对高频电路和PCB理解较差，这里新开一个专栏，补齐这方面知识。

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一. 传输线相关定义

1.1 传输线定义

传输线指的是传输信号的两条导线，传输线的作用就是将信号从导线的一端传输到另一端，为区分这两条导线，我们把一条称为信号路径，一条称为返回路径，如下图所示。

1.2 传输线上的信号定义

信号指的是信号路径和返回路径之间相邻两点的电压差。当信号接入传输线时，它沿着传输线向前传播，信号从一端传到另一端需要时间，在某一时刻，将时间暂停，传输线上的信号波形如图所示：

1.3 均匀传输线定义

如果传输线两条导线的任一处横截面相同，如双绞线，同轴电缆，PCB上并行的两条线，则称这种传输线为均匀传输线，如下图所示：

1.4 长线与短线

当传输线的几何长度比其上所传输的电磁波的波长λ还长或者可以相比拟时，传输线可称为长线，反之可称为短线，长线和短线是相对的概念。

在微波技术中，传输线的长度有时只有几厘米或几米，但因为这个长度已经大于工作波长或与工作波长差不多，仍称它为长线；相反地，输送市电的电力线(频率为50Hz)即使长度为几千米，但与市电的工作波长(6000km)相比还是小许多，所以只能看作是短线。

电路理论与传输线理论的区别， 主要在于电气尺寸与波长的关系。电路分析中， 线路的尺寸比工作波长小很多， 因此可以不考虑各点电压、电流的幅度和相位的变化， 沿线电压和电流只与时间因子有关， 而与空间位置无关。传输线属长线， 沿线各点的电压、电流(或电场、磁场)既随时间变化， 又随位置变化， 是时间和空间的函数， 传输线上电压、电流呈现出波动性。

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二. 传输线上信号的速度

2.1 铜导体中电子的速度

可能有同学错误的以为传输线上信号的速度就是导体中电子移动的速度，但其实两者完全不是一个概念。

下面以一个圆铜导线（如下图）为例，计算下电子的移动速度。

其中，$I$为流过导体的电流（单位为A，$1A=1C/s$）; $\varDelta Q$为为单位时间通过横截面的电荷量（单位为C，库仑）；$\varDelta t$为单位时间（单位为s，秒）;q表示自由电子的密度（单位为$\#/m^3$）；A表示导体的横截面积（单位为$m^2$）；$v$表示导体中电子的移动速度（单位为$m/s$）。

由上式可得：
$$v=\frac{I}{q\times n\times A}=\frac{J}{q\times n}$$
其中，$J$为电流密度（单位为$A/m^2$）。

对于工业应用，电流密度一般不大于$10A/m{m}^2$即$10^{7}A/m^2$，对于铜导体，自由电子的密度n为$8.5\times 10^{28}/m^3$，所以，电流密度为$10A/m{m}^2$的铜导体中的自由电子移动速度：
$$v=\frac{10^{7}C/s\times m^2}{1.6\times 10^{-19}C\times 8.5\times 10^{28}/m^3}=0.735mm/s$$
可见通电铜导体中自由电子的移动速度像蜗牛一样慢，量级在$1mm/s$。

2.2 传输线中信号的传输速度

信息指的是信号路径与返回路径间的电压差，所以信号的传输就是电压的传递，而电压本质是电荷的聚集产生电场，电场中的不同电位点的差值即是电压。信号往前传播，电压不断建立的本质是电场和磁场往前传播，所以信号的传播速度取决于信号路径、返回路径以及周围材料中形成的交变电场和磁场的建立速度。

下图展示了信号传输的t时刻，信号路径、返回路径与周围材料上电磁场的分布情况。

电磁场变化的速度与材料的导磁率、导电率有关，计算公式如下：
$$\text{信号速度}v=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r}}$$
其中，${\epsilon }_0$为自由空间的介电常数（为$8.89\times 10^{-12}F/m$），${\epsilon }_r$为材料的相对介电常数，${\mu }_0$为自由空间的磁导率（为$4\pi \times 10^{-7}H/m$），${\mu }_r$为材料的相对磁导率。

将已知量代入上式，有：
$$v=\frac{2.99\times 10^8}{\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}}\left(m/s\right)$$
考虑到铜导体，板材，空气等均无磁性，其相对磁导率${\mu }_r=1$，所以，上式可简化为：
$$v=\frac{2.99\times 10^8}{\sqrt{{\epsilon }_r}}\left(m/s\right)\approx \frac{300}{\sqrt{{\epsilon }_r}}\left(mm/ns\right)$$
一般来说，PCB板材为FR4，其介电常数在3.5 ~ 4.5之间变化，我们取板材的介电常数为4进行计算，有：
$$v=\frac{300}{\sqrt{{\epsilon }_{r\left(FR4\right)}}}\left(mm/ns\right)=150\left(mm/ns\right)$$
这就是一般互联材料中信号的传输速率。

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三. 传输线的分布参数

3.1 分布电容与单位长度电容

信号在传输线上向前传播，电压不断建立，其本质是电场在不断建立，而电场的建立是靠的在信号路径和返回路径之间集聚电荷，正负电荷集聚完成后，形成电场线从而形成电压。所以，电压的建立过程可以看做是电荷的集聚过程，

简单来说，电压建立其实是电荷集聚或者说流动，电荷流动其实就是电容的充电过程。

理解了电压建立的过程，就能知道，传输线上不仅往前传播电压，也在向前传播电流，此电流就是电容的充电电流。所以，信号在传输线上的传播过程可看做是给传输线上的电容不断充电的过程。

此电容称为分布电容，它是真实存在的，且只与传输线的物理结构有关，与传输线上传输何种信号没有关系。

信号传输过程如下图所示：

为表征传输线每一时刻的变化，引入单位长度电容的概念。单位长度电容仅针对均匀传输线，这时传输线上每个点的电容都是一样的，这样单位长度电容才有意义。

单位长度电容，用C表示，单位为F/m，它表征传输线两导体间的电场变化。

3.2 分布电感与单位长度电感

与上述电容同理，传输线信号传播过程中，磁场也在不断建立，电感就是表征电流与磁通量关系的物理量，

$$L=\frac{\psi }{I}$$
此电感称为分布电感，它是真实存在的，且与传输线上电压电流无关，仅与传输线物理结构有关。

为表征传输线每一时刻的变化，引入单位长度电感的概念。单位长度电感仅针对均匀传输线，这时传输线上每个点的电感都是一样的，这样单位长度电感才有意义。

单位长度电感，用L表示，单位为H/m，它表征传输线两导体间的磁场变化。

3.3 单位长度电阻与单位长度电导

对于真实的传输线，信号传输是有损耗的，这些损耗是在传播过程中一点点的损失的，它们可以用单位长度电阻与单位长度电导来表示。

单位长度电阻，用R表示，单位为Ω/m，它表示传输线的有限电导率损耗。

单位长度电导，用G表示，单位为S/m，它表示传输线的介质损耗。

四. 集总元件电路模型与电报方程的详细推导

传输线上无穷小长度Δz的一段线可模拟为下图所示的集总电路。其中电压与电流均是距离z和时间t的函数，表示位v(z, t)与i(z, t)，有限长度的传输线可以看成是无数个集总电路端级联组成。

根据基尔霍夫电压定律，有：
$$u(z,t)-R\Delta zi(z,t)-L\Delta z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-u(z+\Delta z,t)=0$$

$$\Rightarrow \frac{u(z+\Delta z,t)-u(z,t)}{\Delta z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$$

根据基尔霍夫电流定律，有：
$$i(z,t)-G\Delta zu(z+\Delta z,t)-C\Delta z\frac{\partial u(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0$$

$$\Rightarrow \frac{i(z+\Delta z,t)-i(z,t)}{\Delta z}=-Gu(z+\Delta z,t)-C\frac{\partial u(z+\Delta z,t)}{\partial t}$$

当$\Delta z\to 0$时，根据上两式有：
$$-\frac{\partial u(z,t)}{\partial z}=Ri(z,t)+L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$$

$$-\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=Gv(z,t)+C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}$$

这就是均匀传输线方程或者说电报方程的时域形式。

当输入为正弦电压时，此时传输线上每个信号经过位置的电压均为正弦波，不同的是幅值相对输入会衰减，相位会有延迟，有：
$$u(z,t)=A\left(z\right)\cos \left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)$$
其中，$A\left(z\right)$表示z位置正弦电压的幅值，$\phi \left(z\right)$表示z位置正弦电压的相位。

根据欧拉公式$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，其中$j$为虚数单位，$\theta$为任意实数。令$\theta =\omega t+\phi \left(z\right)$，有：
$$e^{j\left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)}=\cos \left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)+j\sin \left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)$$

$$\Rightarrow \cos \left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[e^{j\left(\omega t+\phi \left(z\right)\right)}\right]=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[e^{\phi \left(z\right)}{e}^{j\omega t}\right]$$

其中，$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\right]$表示取某复数的实部。有：
$$u(z,t)=A\left(z\right)\mathrm{R}\mathrm{e}\left[e^{\phi \left(z\right)}{e}^{j\omega t}\right]=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[A\left(z\right)e^{\phi \left(z\right)}{e}^{j\omega t}\right]$$
令$U\left(z\right)=A\left(z\right)e^{j\phi \left(z\right)}$，有：
$$u(z,t)=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[U\left(z\right)e^{j\omega t}\right]$$
当电压正弦变化时，传输线为一个线性系统，电流必然也是正弦变化的，所以，同理有：
$$i\left(z,t\right)=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[I\left(z\right)e^{j\omega t}\right]$$
其中，$U\left(z\right)$和$I\left(z\right)$分别表示电压和电流在位置之处的复有效值，$\text{复有效值}=\text{实有效值}\times e^{j\times \text{相位角}}$。
$$\frac{\partial u(z,t)}{\partial z}=\frac{u(z+\Delta z,t)-u(z,t)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}\left[U\left(z+\Delta z\right)e^{j\omega t}\right]-\mathrm{R}\mathrm{e}\left[U\left(z\right)e^{j\omega t}\right]}{\Delta z}$$

$$=\mathrm{R}\mathrm{e}\left\{\left[\frac{U\left(z+\Delta z\right)-U\left(z\right)}{\Delta z}\right]e^{j\omega t}\right\}=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\frac{dU\left(z\right)}{dz}{e}^{j\omega t}\right]$$

又：
$$\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}=\frac{\partial \mathrm{R}\mathrm{e}\left[I\left(z\right)e^{j\omega t}\right]}{\partial t}=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[I\left(z\right)j\omega e^{j\omega t}\right]$$
所以，电报方程的上面式子可改写为：
$$-\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\frac{dU\left(z\right)}{dz}{e}^{j\omega t}\right]=R\times \mathrm{R}\mathrm{e}\left[I\left(z\right)e^{j\omega t}\right]+L\times \mathrm{R}\mathrm{e}\left[I\left(z\right)j\omega e^{j\omega t}\right]$$

$$\Rightarrow \mathrm{R}\mathrm{e}\left[-\frac{dU\left(z\right)}{dz}{e}^{j\omega t}\right]=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(RI\left(z\right)+I\left(z\right)j\omega L\right)e^{j\omega t}\right]$$

$$\Rightarrow -\frac{dU\left(z\right)}{dz}=RI\left(z\right)+I\left(z\right)j\omega L$$

电报方程的下面式子同理，可改写为：
$$-\frac{dI\left(z\right)}{dz}=\left(G+j\omega C\right)U\left(z\right)$$
这两个方程没有了时间变量，只有位置变量z，也称为均匀传输线方程或电报方程，上两式可重写为：
$$\frac{dU\left(z\right)}{dz}=-ZI\left(z\right)$$

$$\frac{dI\left(z\right)}{dz}=-YU\left(z\right)$$

其中，$Z=R+j\omega L$称为传输线的单位长度串联阻抗；$Y=G+j\omega C$称为传输线的单位长度并联导纳。注意$Z\ne \frac{1}{Y}$，因为它们表示的不是同一个元件。

上述电报方程的物理含义：它表示了电压的变化是由串联阻抗上的分压作用引起的，而电流的变化是由并联导纳的分流作用引起的。

方程描述了传输线上每个微分段的电压电流的变化规律，由此方程可解出线上任意一点的电压电流。

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参考

《信号完整性与电源完整性分析》（第三版），Eric Bogatin[美]著——第7章 传输线的物理基础

《微波工程》第三版，David M.Pozar著——第二章 传输线理论

《电磁场与微波技术》第二版，黄玉兰著——第五章 传输线理论

中国大学慕课MOOC——微波技术，哈尔滨工程大学，赵春晖，第二章 传输线理论

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