• 【数学】仿射变换

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    注：本文讨论的仿射变换仅为y轴上的伸缩变换，且难度在高中生理解范围内 \scriptsize\textbf{注：本文讨论的仿射变换仅为y轴上的伸缩变换，且难度在高中生理解范围内} 注：本文讨论的仿射变换仅为y轴上的伸缩变换，且难度在高中生理解范围内

    众所周知椭圆是一个压扁的圆（？

    在这里插入图片描述
    达成成就：用GGB乱涂乱画

    于是你发现原本的圆 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2

    变成了 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1

    众所周知圆的题目比较好做，椭圆的题目比较不好做（一大瓶颈在于几何方法）

    那我们就把椭圆拉回去

    把椭圆“拉回去”的操作，本质上是 y y y 轴上单位的变换：将 y y y 轴上单位变为原来的 b a \frac{b}{a} ab​ 且保持椭圆形状不变，则在新坐标系下， 椭圆的椭圆上任意一点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 对应点为 ( x , y ′ ) (x,y') (x,y′)，且满足 y ′ = a b y y'=\frac{a}{b}y y′=ba​y 。

    （也可以理解为将每一个点纵坐标乘上一个倍数）

    代入原椭圆方程得 x 2 a 2 + b 2 a 2 y ′ 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{\frac{b^2}{a^2}y'^2}{b^2}=1 a2x2​+b2a2b2​y′2​=1，即 x 2 + y ′ 2 = a 2 . x^2+y'^2=a^2. x2+y′2=a2.

    （一）坐标系变换以后，平面内所有的点坐标都发生变化，相关的一些量也随之 变化 ：

    1. 任意一点坐标： ( x , y ) ⟶ ( x , a b y ) (x,y)\longrightarrow(x,\frac{a}{b}y) (x,y)⟶(x,ba​y)
    2. 直线方程： A x + B y + C = 0 ⟶ A x + a B b y + C = 0 Ax+By+C=0\longrightarrow Ax+\frac{aB}{b}y+C=0 Ax+By+C=0⟶Ax+baB​y+C=0
    3. 斜率： k ⟶ a b k ( k ′ = Δ y ′ Δ x = a Δ y b Δ x = a b k ) k\longrightarrow \frac{a}{b}k\quad(k'=\frac{\Delta y'}{\Delta x}=\frac{a\Delta y}{b\Delta x}=\frac{a}{b}k) k⟶ba​k(k′=ΔxΔy′​=bΔxaΔy​=ba​k)
    4. 弦长： l ′ = 1 + k ′ 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ = 1 + ( a b k ) 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ l'=\sqrt{1+k'^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+(\frac{a}{b}k)^2}|x_1-x_2| l′=1+k′2 ​∣x1​−x2​∣=1+(ba​k)2 ​∣x1​−x2​∣
    5. 面积： S ⟶ a b S S\longrightarrow \frac{a}{b}S S⟶ba​S （不会积分 感性理解）

    以及角度，垂直，菱形，三角形内心，线段长度，向量的数量积等会发生变化。

    （二）也有一些东西 不发生变化 ，它们被称为 仿射不变量 ：

    1. 直线的平行、相交、共点
    2. 三角形的中线和重心
    3. 向量的平行四边形法则
    4. 线段的 n n n 等分点 （常考的是中点）
    5. 直线与曲线位置关系（切点变化后仍为切点）
    6. 特定的两线段之比（平行/斜率互为相反数/斜率不存在/在同一条直线上）
    7. 两封闭图形的面积之比

    一些常用的结论可以用仿射变换的方法快速证明：

    请添加图片描述

    ♣ 1. \clubsuit 1. ♣1. 椭圆在 A A A 处切线为 l l l （ A A A 不为顶点），则 k l ⋅ k O A = − b 2 a 2 k_l \cdot k_{OA}=-\frac{b^2}{a^2} kl​⋅kOA​=−a2b2​

    证明：由于 A A A 不为顶点，所以 l , O A l,OA l,OA 斜率存在

    众所周知在圆中切线与半径垂直，即 k l ′ ⋅ k O A ′ = − 1 k_l'\cdot k_{OA}'=-1 kl′​⋅kOA′​=−1

    由 (一).3 得

    a b k l ⋅ a b k O A = − 1 \frac{a}{b} k_l\cdot \frac{a}{b}k_{OA}=-1 ba​kl​⋅ba​kOA​=−1

    k l ⋅ k O A = − b 2 a 2 . k_l \cdot k_{OA}=-\frac{b^2}{a^2}. kl​⋅kOA​=−a2b2​.

    在这里插入图片描述

    ♣ 2. \clubsuit 2. ♣2. A B AB AB 为椭圆的一条弦， A B AB AB 中点为 M M M ，则 k A B ⋅ k O M = − b 2 a 2 k_{AB} \cdot k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2} kAB​⋅kOM​=−a2b2​ （椭圆中的“垂径定理”）

    证明：众所周知圆中垂径定理成立，即 k A B ′ ⋅ k O M ′ = − 1 k_{AB}'\cdot k_{OM}'=-1 kAB′​⋅kOM′​=−1

    同理可证。

    请添加图片描述

    ♣ 3. \clubsuit 3. ♣3. 椭圆的一条弦 A B AB AB 过原点，椭圆上除 A , B A,B A,B 以外任取一点 P P P，则 k P A ⋅ k P B = − b 2 a 2 k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2} kPA​⋅kPB​=−a2b2​

    证明：众所周知在圆中，直径所对的圆周角为直角，即 P A ⊥ P B PA \perp PB PA⊥PB

    即 k P A ′ ⋅ k P B ′ = − 1 k_{PA}' \cdot k_{PB}'=-1 kPA′​⋅kPB′​=−1

    同理可证。

    ♣ 4. \clubsuit 4. ♣4. 椭圆的切线方程

    圆 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2 的切线方程 x 0 x + y 0 ′ y ′ = a 2 x_0x+y_0'y'=a^2 x0​x+y0′​y′=a2

    代入 y = a b y ′ y=\frac{a}{b}y' y=ba​y′ 得

    x 0 x + y 0 y ⋅ a 2 b 2 = a 2 x_0x+y_0y \cdot \frac{a^2}{b^2}=a^2 x0​x+y0​y⋅b2a2​=a2

    x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1. \frac{x_0x}{a^2}+ \frac{y_0y}{b^2}=1. a2x0​x​+b2y0​y​=1.

    接下来是一些不常见结论

    ♠ 5. \spadesuit 5. ♠5. 椭圆中的圆幂定理

    在此之前可以先复习一下圆中的 圆幂定理

    首先，定义一条直线的“方向半径”，为过原点与直线平行的椭圆的弦的一半，记为 r A B r_{AB} rAB​（为了方便接下来的证明）请添加图片描述
    如图， O C OC OC 即为直线 A B AB AB 的方向半径。


    请添加图片描述

    “相交弦定理”： P A ⋅ P B P C ⋅ P D = r A B 2 r C D 2 \frac{PA\cdot PB}{PC \cdot PD}=\frac{r_{AB}^2}{r_{CD}^2} PC⋅PDPA⋅PB​=rCD2​rAB2​​

    证明：众所周知在圆中 P ′ A ′ ⋅ P ′ B ′ P ′ C ′ ⋅ P ′ D ′ = 1 \frac{P'A'\cdot P'B'}{P'C' \cdot P'D'}=1 P′C′⋅P′D′P′A′⋅P′B′​=1

    由 （二）.6 得 P ′ A ′ P A = O ′ E ′ O E , P ′ C ′ P C = O ′ F ′ O F \frac{P'A'}{PA}=\frac{O'E'}{OE},\frac{P'C'}{PC}=\frac{O'F'}{OF} PAP′A′​=OEO′E′​,PCP′C′​=OFO′F′​ （ P B , P D PB,PD PB,PD 同理）

    且圆的半径相等，即 O ′ E ′ = O ′ F ′ O'E'=O'F' O′E′=O′F′

    代入即证。

    “（切）割线定理”“切线长定理”同理可证，结论如下：

    请添加图片描述

    P A ⋅ P B P C ⋅ P D = r A B 2 r C D 2 \frac{PA\cdot PB}{PC \cdot PD}=\frac{r_{AB}^2}{r_{CD}^2} PC⋅PDPA⋅PB​=rCD2​rAB2​​

    请添加图片描述
    P A 2 P C 2 = r A B 2 r C D 2 \frac{PA^2}{PC^2}=\frac{r_{AB}^2}{r_{CD}^2} PC2PA2​=rCD2​rAB2​​

    （切割线定理和切线长定理可以看作割线定理的特殊情况）

    （可以顺便看看补充资料[2][3]，是对圆幂定理更本质的理解）

    （然而。实际上这些东西压根没用过）

    （更新 2022.11.29 竟然神奇地用了一次）

    （其他证法见补充资料[4]）

    ♠ 6. \spadesuit 6. ♠6. 过原点的两直线满足 k O A ⋅ k O B = − b 2 a 2 , k_{OA}\cdot k_{OB}=-\frac{b^2}{a^2}, kOA​⋅kOB​=−a2b2​, 则 S △ O A B S_{\triangle OAB} S△OAB​ 为定值 1 2 a b . \frac{1}{2}ab. 21​ab.

    证明：对应圆中 k O A ′ ⋅ k O B ′ = a b k O A ⋅ a b k O B = − 1 k_{OA'}\cdot k_{OB'}=\frac{a}{b}k_{OA}\cdot \frac{a}{b}k_{OB}=-1 kOA′​⋅kOB′​=ba​kOA​⋅ba​kOB​=−1

    即 O A ′ ⊥ O B ′ , S △ O A ′ B ′ = 1 2 a 2 OA' \perp OB',S_{\triangle OA'B'}=\frac{1}{2}a^2 OA′⊥OB′,S△OA′B′​=21​a2

    由（一）.5 得 S △ O A B = 1 2 a b S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}ab S△OAB​=21​ab

    （此题其他方法计算量真的很恐怖 (。﹏。*) 更多扩展以后有机会就写）

    其他忘了 想起来再写

    参考：https://www.bilibili.com/video/BV1dP4y1c7Ro

    补充资料：[1]https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

    [2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/354954745

    [3]https://wenku.baidu.com/view/985542de443610661ed9ad51f01dc281e43a5636.html

    [4]https://www.bilibili.com/read/cv18484645

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/qq_43498359/article/details/127852985