微分中值定理有：
设 x 0 x_0 x0是函数的一个极值点，如果 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)存在，则 f ′ ( x 0 ) = 0. f'(x_0)=0. f′(x0)=0.
证明：费马定理
若函数 f ( x ) f(x) f(x)满足
则存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in (a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0
由于 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，由介值定理， f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可以取得最大值 M M M和最小值 m m m.
如果 M = m = f ( a ) = f ( b ) M=m=f(a)=f(b) M=m=f(a)=f(b)，则 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上恒为常数， ∀ x ∈ ( a , b ) \forall x\in(a,b) ∀x∈(a,b)，都有 f ′ ( x ) = 0. f'(x)=0. f′(x)=0.
如果 M M M和 m m m至少有一个与 f ( a ) f(a) f(a)不相等，不妨设 M > f ( a ) M>f(a) M>f(a)，于是存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)，使得 M = f ( ξ ) M=f(\xi) M=f(ξ).显然 ξ \xi ξ是 f f f的一个极大值点，由费马定理得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(\xi)=0 f′(ξ)=0.
若函数 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)满足
则存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
由于当
x
∈
(
a
,
b
)
x\in(a,b)
x∈(a,b)时，
g
′
(
x
)
≠
0
g'(x)\neq0
g′(x)=0，所以由罗尔定理可得
g
(
b
)
≠
g
(
a
)
g(b)\neq g(a)
g(b)=g(a).作辅助函数
φ
=
[
f
(
x
)
−
f
(
a
)
]
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
[
g
(
x
)
−
g
(
a
)
]
\varphi=[f(x)-f(a)]-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]
φ=[f(x)−f(a)]−g(b)−g(a)f(b)−f(a)[g(x)−g(a)]
此时
φ
\varphi
φ在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续，在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内可导，并且
φ
(
a
)
=
φ
(
b
)
=
0
\varphi(a)=\varphi(b)=0
φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得存在
ξ
∈
(
a
,
b
)
\xi\in(a,b)
ξ∈(a,b)，使得
φ
′
(
ξ
)
=
f
′
(
ξ
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
′
(
ξ
)
=
0
\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=0
φ′(ξ)=f′(ξ)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)g′(ξ)=0
即
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)
若函数 f ( x ) f(x) f(x)满足
则存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi\in(a,b) ξ∈(a,b)，使得 f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( ξ ) \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) b−af(b)−f(a)=f′(ξ)
令
g
(
x
)
=
x
g(x)=x
g(x)=x，因为
f
f
f和
g
g
g满足在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上连续，在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内可导，
g
′
(
x
)
≠
0
g'(x)\neq 0
g′(x)=0，由柯西中值定理得存在
ξ
∈
(
a
,
b
)
\xi\in(a,b)
ξ∈(a,b)，使得
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
f
′
(
ξ
)
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
b−af(b)−f(a)=f′(ξ)
其实拉格朗日中值定理就是柯西中值定理的一种特殊情况。
微分中值定理是导数在研究函数方面的应用，也是微分学的重要组成部分，要牢牢掌握，才能更好地学习接下来的内容。当然，也可以做以下习题加以巩固。