【最短路必背模板】涵盖所有的「存图方式」与「最短路算法（详尽注释）」

这是 LeetCode 上的「743. 网络延迟时间」，难度为「中等」。

Tag : 「最短路」、「图」、「优先队列（堆）」

有 n个网络节点，标记为1到 n。

给你一个列表times，表示信号经过「有向边」的传递时间。

times=(ui,vi,wi)，其中 ui是源节点，vi是目标节点，wi是一个信号从源节点传递到目标节点的时间。

现在，从某个节点 k发出一个信号。

需要多久才能使所有节点都收到信号？

如果不能使所有节点收到信号，返回-1。

示例 1：

输入：times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], n = 4, k = 2
输出：2
1
2

示例 2：

输入：times = [[1,2,1]], n = 2, k = 1
输出：1
1
2

示例 3：

输入：times = [[1,2,1]], n = 2, k = 2
输出：-1
1
2

提示：

1 <= k <= n <= 100
1 <= times.length <= 6000
times[i].length == 3
1 <= ui, vi <= n
ui != vi
0 <= wi <= 100
所有 (ui, vi) 对都 互不相同（即，不含重复边）
1
2
3
4
5
6
7

基本分析

为了方便，我们约定 n为点数，m为边数。

根据题意，首先 n的数据范围只有100，m的数据范围为6000，使用「邻接表」或「邻接矩阵」来存图都可以。

同时求的是「从 k点出发，所有点都被访问到的最短时间」，将问题转换一下其实就是求「从 k点出发，到其他点 x的最短距离的最大值」。

存图方式

在开始讲解最短路之前，我们先来学习三种「存图」方式。

邻接矩阵

这是一种使用二维矩阵来进行存图的方式。

适用于边数较多的「稠密图」使用，当边数量接近点的数量的平方，即m≈n^2时，可定义为「稠密图」。

// 邻接矩阵数组：w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
int[][] w = new int[N][N];

// 加边操作
void add(int a, int b, int c) {
    w[a][b] = c;
}
1
2
3
4
5
6
7

邻接表

这也是一种在图论中十分常见的存图方式，与数组存储单链表的实现一致（头插法）。

这种存图方式又叫「链式前向星存图」。

如果不了解什么是链式前向星，可以查看我的另一篇博客：前向星与链式前向星

当然也可以直接用数组+List来实现

适用于边数较少的「稀疏图」使用，当边数量接近点的数量，即 时，可定义为「稀疏图」。

int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
int idx;

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = he[a];
    he[a] = idx;
    w[idx] = c;
    idx++;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

首先 idx 是用来对边进行编号的，然后对存图用到的几个数组作简单解释：

he 数组：存储是某个节点所对应的边的集合（链表）的头结点；
e 数组：由于访问某一条边指向的节点；
ne 数组：由于是以链表的形式进行存边，该数组就是用于找到下一条边；
w 数组：用于记录某条边的权重为多少。
因此当我们想要遍历所有由 a 点发出的边时，可以使用如下方式：

for (int i = he[a]; i != -1; i = ne[i]) {
    int b = e[i], c = w[i]; // 存在由 a 指向 b 的边，权重为 c
}
1
2
3

类

这是一种最简单，但是相比上述两种存图方式，使用得较少的存图方式。

只有当我们需要确保某个操作复杂度严格为 时，才会考虑使用。

具体的，我们建立一个类来记录有向边信息：

class Edge {
    // 代表从 a 到 b 有一条权重为 c 的边
    int a, b, c;
    Edge(int _a, int _b, int _c) {
        a = _a; b = _b; c = _c;
    }
}
1
2
3
4
5
6
7

通常我们会使用 List 存起所有的边对象，并在需要遍历所有边的时候，进行遍历：

List<Edge> es = new ArrayList<>();

...

for (Edge e : es) {
    ...
}
1
2
3
4
5
6
7

Floyd（邻接矩阵）

根据「基本分析」，我们可以使用复杂度为 O(n^3)的「多源汇最短路」算法, Floyd 算法进行求解，同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

此时计算量约为10^6，可以过。

跑一遍 Floyd，可以得到「从任意起点出发，到达任意起点的最短距离」。

然后从所有 w[k][x]中取max 即是「从 k点出发，到其他点 x的最短距离的最大值」。

代码：

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接矩阵数组：w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
    int[][] w = new int[N][N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化邻接矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        // 最短路
        floyd();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, w[k][i]);
        }
        return ans >= INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void floyd() {
        // floyd 基本流程为三层循环：
        // 枚举中转点 - 枚举起点 - 枚举终点 - 松弛操作        
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    w[i][j] = Math.min(w[i][j], w[i][p] + w[p][j]);
                }
            }
        }
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

时间复杂度：O(n^3)
空间复杂度：O(n^2)

朴素 Dijkstra（邻接矩阵）

同理，我们可以使用复杂度为 O(n^2)的「单源最短路」算法朴素 Dijkstra 算法进行求解，同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

根据题意，k点作为源点，跑一遍 Dijkstra 我们可以得到从源点 k 到其他点 x 的最短距离。

再从所有最短路中取 max 即是「从 k 点出发，到其他点 x 的最短距离的最大值」。

朴素 Dijkstra 复杂度为O(n^2)，可以过。

代码：

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接矩阵数组：w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
    int[][] w = new int[N][N];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪些点已经被更新过
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化邻接矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        // 最短路
        dijkstra();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        // 起始先将所有的点标记为「未更新」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            // 每次找到「最短距离最小」且「未被更新」的点 t
            int t = -1;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (!vis[i] && (t == -1 || dist[i] < dist[t])) t = i;
            }
            // 标记点 t 为已更新
            vis[t] = true;
            // 用点 t 的「最小距离」更新其他点
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dist[i] = Math.min(dist[i], dist[t] + w[t][i]);
            }
        }
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

堆优化 Dijkstra（邻接表）

由于边数据范围不算大，我们还可以使用复杂度为 O(m*logn) 的堆优化 Dijkstra 算法进行求解。

堆优化 Dijkstra 算法与朴素 Dijkstra 都是「单源最短路」算法。

跑一遍堆优化 Dijkstra 算法求最短路，再从所有最短路中取 即是「从 k 点出发，到其他点 x 的最短距离的最大值」。

此时算法复杂度为O(m*logn) ，可以过。

代码：

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪些点已经被更新过
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int n, k, idx;
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        dijkstra();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        // 起始先将所有的点标记为「未更新」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 使用「优先队列」存储所有可用于更新的点
        // 以 (点编号, 到起点的距离) 进行存储，优先弹出「最短距离」较小的点
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[1]-b[1]);
        q.add(new int[]{k, 0});
        while (!q.isEmpty()) {
            // 每次从「优先队列」中弹出
            int[] poll = q.poll();
            int id = poll[0], step = poll[1];
            // 如果弹出的点被标记「已更新」，则跳过
            if (vis[id]) continue;
            // 标记该点「已更新」，并使用该点更新其他点的「最短距离」
            vis[id] = true;
            for (int i = he[id]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[id] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[id] + w[i];
                    q.add(new int[]{j, dist[j]});
                }
            }
        }
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63

时间复杂度：O(m*logn + n)
空间复杂度：O(m)

Bellman Ford（类 & 邻接表）

虽然题目规定了不存在「负权边」，但我们仍然可以使用可以在「负权图中求最短路」的 Bellman Ford 进行求解，当题目中对边有限制时（例如要求最多经过多少条边，可以使用迭代次数来处理）也可使用Bellman Ford来求解，该算法也是「单源最短路」算法，复杂度为 O(m * n)。

通常为了确保 O(m * n)，可以单独建一个类代表边，将所有边存入集合中，在 n 次松弛操作中直接对边集合进行遍历。

由于本题边的数量级大于点的数量级，因此也能够继续使用「邻接表」的方式进行边的遍历，遍历所有边的复杂度的下界为 O(n)，上界可以确保不超过 O(m)。

代码：

class Solution {
    class Edge {
        int a, b, c;
        Edge(int _a, int _b, int _c) {
            a = _a; b = _b; c = _c;
        }
    }
    int N = 110, M = 6010;
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, k;
    // 使用类进行存边
    List<Edge> es = new ArrayList<>();
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        m = ts.length;
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            es.add(new Edge(u, v, c));
        }
        // 最短路
        bf();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void bf() {
        // 起始先将所有的点标记为「距离为正无穷」
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            int[] prev = dist.clone();
            // 每次都使用上一次迭代的结果，执行松弛操作
            for (Edge e : es) {
                int a = e.a, b = e.b, c = e.c;
                dist[b] = Math.min(dist[b], prev[a] + c);
            }
        }
    }
}

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        m = ts.length;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        bf();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void bf() {
        // 起始先将所有的点标记为「距离为正无穷」
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            int[] prev = dist.clone();
            // 每次都使用上一次迭代的结果，执行松弛操作
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int i = he[a]; i != -1; i = ne[i]) {
                    int b = e[i];
                    dist[b] = Math.min(dist[b], prev[a] + w[i]);
                }
            }
        }
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

时间复杂度：O(m * n)
空间复杂度：O(m)

SPFA（邻接表）

SPFA 是对 Bellman Ford 的优化实现，可以使用队列进行优化，也可以使用栈进行优化。

通常情况下复杂度为 O(k * m)，k 一般为 4 到 5，最坏情况下仍为O(m * n) ，当数据为网格图时，复杂度会从 O(k * m) 退化为 O(n * m) 。

代码：

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪一个点「已在队列」中
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        spfa();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void spfa() {
        // 起始先将所有的点标记为「未入队」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 使用「双端队列」存储，存储的是点编号
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        // 将「源点/起点」进行入队，并标记「已入队」
        d.addLast(k);
        vis[k] = true;
        while (!d.isEmpty()) {
            // 每次从「双端队列」中取出，并标记「未入队」
            int poll = d.pollFirst();
            vis[poll] = false;
            // 尝试使用该点，更新其他点的最短距离
            // 如果更新的点，本身「未入队」则加入队列中，并标记「已入队」
            for (int i = he[poll]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[poll] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[poll] + w[i];
                    if (vis[j]) continue;
                    d.addLast(j);
                    vis[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64

时间复杂度：O(m * n)
空间复杂度：O(m)

总结

最短路径问题还存在很多可行的解决方案，本文只罗列了一部分，我们在解题时（包括生产过程中）需要根据图数据（稠密与稀疏），以及图中边的权重是否可为负数等要求来使用对应的存图方法（邻接矩阵、邻接表、类）以及算法。