领悟《信号与系统》之 LTI 系统的卷积积分及性质

笔记主要记录一下卷积定义、性质、微积分、时移运算以及卷积求零状态响应的知识点。
一定要记住卷积定义的公式，基本上性质和微积分、时移都是在定义的基础上推出来的。

一、卷积积分及其性质

1. 任意信号的分解

其实就是利用了微分的数学定义

用 δ(t) 的积分表示信号

2. 任意信号作用下的零状态响应

求任意信号作用下 LTI 连续时间系统的零状态响应，可以先对任意信号进行分解，然后利用 LTI 连续时间系统的线性时不变特性求解。

这个是一种比较简单的求解时域方法。

3. 卷积的定义

我这里没说图解法、我用的很少

• f₁ 与 f₂ 的卷积积分为：
  
  结合 信号分解的 思想，系统在任意激励信号 f (t)作用下的零状态响应 y (t)f 就可以用卷积积分的方法来求取，即
  
  当已知系统的冲激响应h(t) 和激励信号 f (t)时，通过计算二者卷积积分的方法求取系统的零状态响应 y_f(t)

4. 卷积性质

1. 代数性质

交换律：卷积积分是关于 f₁(t) 和 f₂(t) 对称的。

• f₁(t) * f₂(t) = f₂(t) * f₁(t)
  
  证明过程：
  

结合律：三个或三个以上函数的卷积结果与函数在卷积计算的次序无关。

• [ f₁(t)* f₂(t)]* f₃(t) = f₁(t) * [ f₂(t) * f₃(t)] = f₂(t) * [ f₃(t) * f₂(t)]

分配律：

• [ f₁(t)* f₂(t)]* f₃(t) = f₁(t) * f₃(t) + * f₂(t) * f₃(t)
  

2. f(t)与奇异信号的卷积 （非常重要）

• 1. 信号 f(t) 与冲激信号 δ(t) 的卷积等于 f(t) 本身
     f(t) * δ(t) = f(t)
     
• 2. 信号 f(t) 和冲激偶 δ’(t) 的卷积等于 f(t) 的导函数
     f(t) * δ’(t) = f’(t)
     
• 3. 信号 f (t)与阶跃信号u(t)的卷积等于信号 f (t)的积分
     f(t) * u(t) = f^(-1)(t)
     

3. 卷积的微分和积分

设 y(t) = f₁(t) * f₂(t)

• 1. 微分
     y⁽¹⁾(t) = f⁽¹⁾₁(t) * f₂(t) = = f₁(t) * f⁽¹⁾₂(t)
     
• 2. 积分
     y^(-1)(t) = f^(-1)₁(t) * f₂(t) = = f₁(t) * f^(-1)₂(t)
     
• 3. 微积分
     y(t) = f₁(t) * f₂(t) = f^(-1)₁(t) * f⁽¹⁾₂(t) = = f⁽¹⁾₁(t) * f^(-1)₂(t)
     
     必须指出，使用卷积的微积分性质是有条件的，式（3.3-19）成立的条件要
     求是：被求导的函数 f₁(t) 或 f₂(t) 在 t = -∞处为零值，或者被积分的函数 f₁(t) 或 f₂(t) 在(-∞,+∞)区间上的积分值（即函数波形的净面积）为零。而且，这里的两个条件是“或”的关系，只需要满足其中一个条件。

这里的可以推广哈
相当于把 指数值 可以做加减移到某一个信号的指数上

4. 卷积时移

设 y(t) = f₁(t) * f₂(t)

• f₁(t - t₀) * f₂(t) = f₁(t) * f₂(t - t₀) = y(t - t₀) ; t₀ 是实常数
  

这里也可以推广
设 y(t) = f₁(t) * f₂(t)

• 则 f₁(t - t₀ - t₁) * f₂(t) = f₁(t - t₁) * f₂(t - t₀) = y(t - t₀ - t₁)
  相当于把延时 可以做加减移到某一个信号上

5. 常用信号的卷积公式

二、总结重点

重点是：
1、零输入、零状态响应的定义
2、卷积定义、性质、微积分、时移运算
3、卷积求零状态响应

一定要记住 卷积定义的公式，基本上性质和微积分、时移都是在定义的基础上推出来的
结论记不住，但可以推出来，很简单的一些积分

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