题解——01背包问题例题（装箱问题、宠物小精灵之收服）

01背包问题：

给定一个有一定容量的背包，和 n 个物品，每个物品只能选择一次；

每个物品有其对应的体积和价值；

问背包最多能装下的物品的最大价值为多少。

输入格式：

第一行两个整数，N，V，分别表示物品数量和背包容积；

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi 用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式：

输出一个整数，表示最大价值。
 

思路：

假设f[i][j]代表当只选择前n个物品并且背包容量只有j的时候所能装下物品的最大价值

f[i][j] = max(f[i - 1][j]，f[i - 1][j - v[j]] + w[j])

题目的答案就是 f[n][m] 。

为什么这样做是正确的呢：

以集合的角度：

当我们在面对第i件物品的时候，我们一定会在选择第i件物品和不选择第i件物品这两种情况中做出选择；

假设我们有一个集合，集合表示的是只看前i件物品，背包容量为j的时候的所有物品选法，f[i][j] 取集合中的最大值，该集合可以划分为选择第i件物品和不选择第i件物品两个集合，f[i][j] 取两个集合中的最大值即可。

图示：

 代码模板如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int v[N], w[N];//每个物品的体积和价值
int f[N][N];//每个状态的最大价值
int n, V;//物品数和背包容量
int main() {
    cin >> n >> V;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= V; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
 
    cout << f[n][V];
    return 0;
}

优化至一维：

我们发现，我们在更新的时候只会用到两层状态，每一个状态都是由上一层左边的状态推导而来的，我们不妨将这两行合并。

dp方程为：

f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)

一维状态中，f[j] 默认就是上一层的 f[j]，所以不用进行不选第 i 个物品的更新；

当选择第 i 个物品时，需要用到上一层左边的状态，所以不能把本层左边的状态更新成上一层左边的状态；

如果从前往后进行更新，那么上一层的左边的状态就被更新掉了，故应该从后往前更新。

图示：

 代码模板如下：

#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, V;//物品数
int v, w;//总体积
int f[N];//状态
int main() {
    cin >> n >> V;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v >> w;
        for (int j = V; j >= v; j--)
            if (v <= j)f[j] = max(f[j - v] + w, f[j]);//f[j]默认就是上一行的值,所以不用更新v小于j的情况
    }
 
    cout << f[V];
    return 0;
}

例题1 . 装箱问题：

[NOIP2001]装箱问题 - C语言网 (dotcpp.com)

题目要尽可能的装满箱子；

给每个物品赋予一个价值属性，价值的值就是体积的值；

即求一定体积下的最大价值是多少。

AC代码如下：

//二维
#include
using namespace std;
 
const int N = 20010, M = 40;
int f[M][N];
int n, m;//物品数和背包容量
 
int main() {
    cin >> m >> n;
 
    int v, w;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//前i个物品
        //读入体积和价值
        cin >> v;
        w = v;
        for (int j = 0; j <= m; j++) {//体积为j
            f[i][j] = f[i - 1][j];//不选该物品
            if (j >= v)f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }
 
    cout << m - f[n][m];//记得做减法
 
    return 0;
 
}
 
//一维
#include
using namespace std;
 
const int N = 20010;
int f[N];
int n, m;//物品数和背包容量
 
int main() {
    cin >> m >> n;
 
    int v, w;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//前i个物品
        //读入体积和价值
        cin >> v;
        w = v;
        for (int j = m; j >= v; j--) {//从后往前更新
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }
 
    cout << m - f[m];//记得做减法
 
    return 0;
 
}
 
 
 

例题2 . 数字组合：

信息学奥赛一本通T1291-数字组合 - C语言网 (dotcpp.com)

f[i][j] 表示只看前 i 个物品，和为 j 的情况；

如果选择第 i 个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]；

如果不选第 i 个物品：f[i][j] = f[i-1][j]；

f[i][j]等于两者之和。

该题需要初始化，f[0][0] = 1。

AC代码如下：

//二维
#include
using namespace std;
 
const int N = 110, M = 10010;
int f[N][M];
int n, m;//n个数和为m
 
int main() {
    cin >> n >> m;
 
    int v;
 
    f[0][0] = 1;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//前i个数
        cin >> v;
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] += f[i - 1][j];//不选
            if (j >= v)f[i][j] += f[i - 1][j - v];//选
        }
    }
 
    cout << f[n][m];
 
    return 0;
}
 
//一维
#include
using namespace std;
 
const int M = 10010;
int f[M];
int n, m;//n个数和为m
 
int main() {
    cin >> n >> m;
 
    int v;
 
    f[0] = 1;//初始化
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {//前i个数
        cin >> v;
        for (int j = m; j >= v; j--)
            f[j] += f[j - v];//选
    }
 
    cout << f[m];
 
    return 0;
}