行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】

前置知识

1.列向量组维数增加时，向量组的极大无关组增加（或不变）。
2. 三秩相等

向量组证明

直观证明

这两个列向量显然是相关的。

这两个列向量当a和b取k和2k的时候相关（k为任意常数），当不是k和2k的时候无关，因此列向量组的极大无关组的向量个数增加（或不变）。

利用方程组证明

当列向量相关时。

可以看到有无穷多个解。
添加维数：

可能有无穷多个解，也可能只有0解。
含义是，添加了维数，列向量组可能从相关变成无关。
或者这样考虑，本来是有一些解的，然而增加了维数相当于增加了了一个方程，相当于增加了一个约束条件，因此，原来的解可能就不是新方程组的解了，即列向量组的无关性增加了。
当列向量不相关时，增加约束条件一定就更不相关了。
因此，题设得证。

三秩相等说明

在这篇文章中进行了简要说明：矩阵和向量组的关系

行列向量的维数和个数的关系

有了前面的材料，首先我们知道了列向量组维数增加，那么列向量组的极大无关组的个数增加（或不变），因此列秩增加（或不变）。又因为列秩等于行秩（三秩相等），行秩增加（或不变），行向量组的线性无关组的个数增加（或不变）。

而列向量组的维数增加，我们可以等价于这个行向量组的个数增加。

因此，通过记住列向量维数的性质，就可以把行列向量的个数和行列向量向量的维数联系起来了。

eg：
问：行向量组的个数增加，行向量组的秩怎么变化？矩阵的秩怎么变化？
答：行向量组的秩增加，矩阵的秩增加。
原因：1. 行向量组的个数增加就是列向量组的维数增加（或不变）（行列转化），因此列秩增加（或不变）（知识1），因此，行秩增加（或不变），矩阵的秩增加（或不变）。（三秩相等）