闪电连接算法之Python实现

简介

LAPO，即闪电连接优化(Lightning Attachment Procedure Optimization)，听名字就知道是受到了闪电的刺激，而获得灵感的一种算法。

为了走进LAPO的内心，于是上网搜了一下闪电的图片

呃不好意思，是下面这个

发现闪电连接无非是分岔而已，而且这个岔如果非常厚实，那么会继续分叉，否则就会迅速消失。

接下来可以思考，这个岔何以非常强壮？那肯定是这个位置比较适合分岔，在对的地方分岔了，闪电就会继续分岔，否则就面临着消失。

至此，闪电过程被抽象为分支的出现和消失。

原理

初始化

$$x^i=\mathrm{rand}(x_L,x_R)$$

$x_L,x_R$表示随机数的生成范围。

根据目标函数，可以得到$x^i$的适应度

$f^i=f(x^i)$

下一跳

对于第$i$个闪电点，周围有很多个可以分岔的位置，其第$j$个位置记作$x_j^i$，计算所有可能位置的平均值，及其适应度

计算所有点的平均值，及其平均值的适应度

$${\bar{x}}^i=\frac{1}{N}\sum _j^N{x}_j^i,{\bar{f}}^i=f({\bar{x}}^i)$$

如果$f_j^i$优于${\bar{f}}^i$，则闪电向这边移动，否则闪电向另一侧移动

x i ∗ = { x j i + ( x ˉ i + x j i ⋅ rand ⁡ ) ⋅ rand ⁡ f j i < f ˉ i x j i − ( x ˉ i + x j i ⋅ rand ⁡ ) ⋅ rand ⁡ f j i ⩾ f ˉ i x^{i*}=\left\{xij+(ˉxi+xij⋅rand)⋅randfij<ˉfixij−(ˉxi+xij⋅rand)⋅randfij⩾ˉfi

\right. xi∗={xji​+(xˉi+xji​⋅rand)⋅randfji​<fˉ​ixji​−(xˉi+xji​⋅rand)⋅randfji​⩾fˉ​i​

分支消失

如果$x^{i\ast }$的适应度比$x^i$要好，那么就这个新点就保留，否则就任其消失。

地面接收

一般来说闪电肯定是要打在避雷针上的，最优解就相当于是避雷针。随着迭代的不断加深，即闪电不断第分岔，也就更加接近避雷针所在的位置。

在LAPO里，通过迭代次数来创建一个概率因子S，其表达式为

$$S=1-\frac{t}{t_M}\exp -\frac{t}{t_M}$$

随着迭代次数增加，$S$的值不断减小，意味着分支点的抖动逐渐降低，其作用在分支上的方式如下

$$x^{i\ast }=x^{i\ast }+\mathrm{rand}\cdot S\cdot (x_m-x_M)$$

其中，$x_m$和$x_M$为最优和最差情况下的位置。

Python实现

由于LAPO算法不需要保留上一代闪电点，而且闪电点之间也没有什么关联，所以实现起来比较简单。

首先实现闪电的分支迭代过程

import numpy as np
rand = np.random.rand
# x为当前迭代点；func为迭代函数；N为预选分支点数目
# S为尖端放电系数
def branch(x, func, N, S):
    fit = func(x)   #x的适应度
    # 预选点
    stars = [x+rand(*x.shape) for _ in range(N)]
    # 所有预选点的适应度
    starFits = [func(star) for star in stars]
    xBar = np.mean(stars, axis=0)
    fBar = np.mean(starFits)
    xs = []
    for i in range(N):
        sign = 1 if starFits[i] < fBar else -1
        xs.append(x+sign*(xBar+stars[i]*rand())*rand())
    # 上面已经给出了所有可能的分支
    xs = np.array(xs)
    fits = np.array([func(xi) for xi in xs])
    ind = np.where(fits<fit)[0]
    if len(ind)==0:
        return [x]
    xs,fits = xs[ind], fits[ind]
    # 如果没有更好的结果，就保留现有结果
    S = S*(xs[np.argmin(fits)] - xs[np.argmax(fits)])
    return [x+rand()*S for x in xs]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

然后实现主函数

from itertools import chain
# nInit为初始化点个数，nDim为数据维度，nBranch为分支点个数
# nIter为迭代次数
def lapo(nInit, nDim, nBranch, nIter, func):
    # xs为点集
    xs = [rand(nDim) for _ in range(nInit)]
    for i in range(nIter):
        # 尖端放电系数
        S = 1 - (i/nIter)*np.exp(-i/nIter)
        xs = [branch(x, func, nBranch, S) for x in xs]
        xs = list(chain(*xs))
    fits = [func(x) for x in xs]
    msg = f"得到{len(xs)}组结果，其中最佳适应度为{np.min(fits)},"
    msg += "xs=" + ", ".join([f"{xi}" for xi in xs[np.argmin(fits)]])
    print(msg) 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

最后，找个函数测试一下，测试函数为

$$f(\vec{x})=\sum _{i=0}\cos (\frac{i{x}_i}{5})\ast (i+1)$$

def test(xs):
    _sum = 0.0
    for i in range(len(xs)):
        _sum = _sum + np.cos((xs[i]*i)/5)*(i+1)
    return _sum

if __name__ == "__main__":
    lapo(10, 5, 3, 20, test)
1
2
3
4
5
6
7
8

效果为

>python lapo.py
得到1093组结果，其中最佳适应度为-12.570095759883985,xs=-11.260084641709877, -13.431104443084656, -7.471806128776576, -16.196185355184905, -11.894803311699398
1
2

当然，这个程序有一个bug，当新种群中没有更优情况的时候，上一代计算结果会被保存，随着迭代次数越来越多，非常容易内存爆炸，看来是要对每一代种群进行以此筛选才行。