线代——求逆矩阵的快捷方法

通常，求逆矩阵有两种方法：
方法一：

方法二：

但是，对于特殊矩阵，如:

1、二阶矩阵

A = [ a b c d ] A =

A=[ac​bd​]，其逆矩阵 A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}

[d−b−ca]" role="presentation">[d−c−ba]$$\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

A−1=ad−bc1​[d−c​−ba​]

2、分块矩阵

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分块矩阵在主对角位置，直接对分块矩阵取逆矩阵：

A = [ X Y ] A =

A=[X​Y​]，其逆矩阵 A − 1 = [ X − 1 Y − 1 ] A^{-1}=

[X−1Y−1]" role="presentation">[X−1Y−1]$$\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& \\ & Y^{-1}\end{array}\right]$$

A−1=[X−1​Y−1​]

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分块矩阵在副对角位置，副对调，再取逆：

A = [ X Y ] A =

A=[Y​X​]，其逆矩阵 A − 1 = [ Y − 1 X − 1 ] A^{-1}=

[Y−1X−1]" role="presentation">[X−1Y−1]$$\left[\begin{array}{cc}& Y^{-1}\\ X^{-1}& \end{array}\right]$$

A−1=[X−1​Y−1​]

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分块矩阵为右上三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对右上角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A = [ X W Y ] A =

A=[X​WY​]，其逆矩阵 A − 1 = [ X − 1 − X − 1 W Y − 1 Y − 1 ] A^{-1}=

[X−1−X−1WY−1Y−1]" role="presentation">[X−1−X−1WY−1Y−1]$$\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& -X^{-1}W{Y}^{-1}\\ & Y^{-1}\end{array}\right]$$

A−1=[X−1​−X−1WY−1Y−1​]

同理，对于左下三角形状，首先主对角直接取逆，然后再对左下角子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A = [ X W Y ] A =

A=[XW​Y​]，其逆矩阵 A − 1 = [ X − 1 − Y − 1 W X − 1 Y − 1 ] A^{-1}=

[X−1−Y−1WX−1Y−1]" role="presentation">[X−1−Y−1WX−1Y−1]$$\left[\begin{array}{cc}{X}^{-1}& \\ -Y^{-1}W{X}^{-1}& Y^{-1}\end{array}\right]$$

A−1=[X−1−Y−1WX−1​Y−1​]

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据主对角位置。

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分块矩阵为左上三角形状，首先副对调，再取逆，然后将左上角子矩阵换到右下角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A = [ W X Y ] A =

A=[WY​X​]，其逆矩阵 A − 1 = [ Y − 1 X − 1 − X − 1 W Y − 1 ] A^{-1}=

[Y−1X−1−X−1WY−1]" role="presentation" style="position: relative;">[X−1Y−1−X−1WY−1]$$\left[\begin{array}{cc}& Y^{-1}\\ X^{-1}& -X^{-1}W{Y}^{-1}\end{array}\right]$$

A−1=[X−1​Y−1−X−1WY−1​]

同理，对于右下三角形状，首先副对调，再取逆，然后将右下角子矩阵换到左上角，最后再对该子矩阵左乘其行，右乘其列，再添符号：

A = [ X Y W ] A =

A=[Y​XW​]，其逆矩阵 A − 1 = [ − Y − 1 W X − 1 Y − 1 X − 1 ] A^{-1}=

[−Y−1WX−1Y−1X−1]" role="presentation" style="position: relative;">[−Y−1WX−1X−1Y−1]$$\left[\begin{array}{cc}-Y^{-1}W{X}^{-1}& Y^{-1}\\ X^{-1}& \end{array}\right]$$

A−1=[−Y−1WX−1X−1​Y−1​]

它们相同之处，都是分块三角矩阵占据副对角位置。

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综上，对于形状是上、下三角的分块矩阵求逆，如果分块子矩阵占据主对角位置，不需要对调位置；如果分块子矩阵占据副对角位置，都需要对调位置。