SPFA和链式前向星

链式前向星

一种存储图的数据结构

建立一个结构体和一个数组加一个变量，这里的to代表边$(u,v)$中的$v$结点，而$edge$数组的索引$idx$代表$u$，其中$w$代表权值，$next$代表以$u$为起始点的上一个边。
$head$代表这个$x$结点在$edge$数组中的最后一个边的下标索引，$cnt$用于记录边时当$edge$的下标索引用。

struct {
  int to, w, next;
} edge[MAX_N];
int head[MAX_N], cnt = 0;

为链式前向星添加边

1. ++cnt为新添加的边选择一个空变量
2. edge[++cnt].next=head[u]代表让$edge[cnt]$中的$next$变量指向$u$结点的上一个边
3. $head[u]=cnt$代表更新结点$u$的最后一条边在$edge$中的下标

edge[++cnt].next=head[u];
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].to=v;
head[u]=cnt;

遍历

首先获取结点$x$的最后一条边，经过数据处理后，将i移向结点$x$的上一条边

for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)

SPFA算法

求最小单源路径

1. 将源点放入队列中，并标志源点$s$已经在队列之中$vis[s]=true$
2. 进入一个循环，当队列为空，各节点的最短路径便求出来了
3. 从队列中取出一个结点，并更新标志，遍历该结点的边，对符合条件的各边$dis[edge[i].to]>dis[v]+edge[i].w$进行松弛，然后如果符合条件的松弛边目标结点如果未在队列中，则放入，更改标志。

松弛：对于每个顶点v∈V，都设置一个属性$d[v]$，用来描述从源点s到v的最短路径上权值的上界，称为最短路径估计。就是这个操作$dis[edge[i].to] = dis[v] + edge[i].w;$

  queue<int> que;
  que.emplace(s);
  vis[s] = true;
  while (!que.empty()) {
    int v = que.front();
    que.pop();
    vis[v] = false;
    for (int i = head[v]; i; i = edge[i].next) {
      if (dis[v] + edge[i].w < dis[edge[i].to]) {
        dis[edge[i].to] = dis[v] + edge[i].w;
        if (!vis[edge[i].to]) {
          que.emplace(edge[i].to);
          vis[edge[i].to] = true;
        }
      }
    }
  }

求是否存在负环

如果一个图存在负环，那么其的最短路径一定会存在一个无限循环，经过负环后，路径越来越小，那么一定有一些结点，一直入队出队，判断是否有结点入队次数大于$n$次

  queue<int> que;
  que.emplace(1);
  vis[1]=true,dis[1]=0;
  while (!que.empty()) {
    int v = que.front();
    que.pop();
    vis[v] = false;
    fe(ver, G[v]) if (dis[ver.to] > dis[v] + ver.cost) {
      dis[ver.to] = dis[v] + ver.cost;
      if (!vis[ver.to]) {
        if (++cnt[ver.to] >= n) {
            //存在负环
        }
        que.emplace(ver.to);
        vis[ver.to] = true;
      }
    }
  }