第七章数学 6 AcWing 1593. 整数分解

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数学数论 DP 背包问题

思路

类似AcWing 12. 背包问题求具体方案
把n看成背包的容积N
因为n最多不超过400，然而p进制最少为2
所以物品的价值最大可以取到20(因为20^2 = 400)
所以这道题目就被转化成
从前i个物品中取，体积恰好为j，重量恰好为k的取法的方案的最大价值
所以根据闫氏dp分析法我们可以得到状态转移的方程
f[i][j][k] = max(f[i-1][j][k],f[i][j - v[i]][k - w[i]] + value[i]);

详细思路

问题转换

在这里插入图片描述

方案计算

在这里插入图片描述
状态转移方程

方案选择

在这里插入图片描述

时间复杂度

由于n最多不超过400，p进制最少为2，所以物品的价值最大可以取到20(因为20^2 = 400)。
时间复杂度 $20*400*400 = 3200000 < 10^7$ ，所以可以用dp来进行求解

代码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include
#define int long long
#define x first
#define y second
#define ump unordered_map
#define ums unordered_set
#define pq priority_queue
#define rep(i, a, b) for(int i=a;i=b;--i)
using namespace std;
typedef pair PII;
const int N=405, INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double Exp=1e-8;
//int t, n, m, cnt, ans; 
int n, k, p, f[21][N][N];
inline int rd(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}
void put(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>=10) put(x/10);
    putchar(x%10^48);
}
int pw(int a, int b){
    int res=1;
    rep(i, 0, b){
        res*=a;
    }
    return res;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	n=rd(), k=rd(), p=rd();
	memset(f, -INF, sizeof f);
	f[0][0][0]=0;
	int m;
	for(m=1;;m++){
	    int v=pw(m, p);
	    if(v>n){
	        break;
	    }
	    rep(i, 0, n+1){
	        rep(j, 0, k+1){
	            f[m][i][j]=f[m-1][i][j];
	            if(i>=v&&j){
	                f[m][i][j]=max(f[m][i][j], f[m][i-v][j-1]+m);
	            }
	        }
	    }
	}
	m--;
	if(f[m][n][k]<0){
	    puts("Impossible");
	}else{
	    printf("%lld = ", n);
	    bool is_first=true;
	    while(m){
	        int v=pw(m, p);
	        while(n>=v&&k&&f[m][n-v][k-1]+m==f[m][n][k]){
	            if(is_first){
	                is_first=false;
	            }else{
	                printf(" + ");
	            }
	            printf("%lld^%lld", m, p);
	            n-=v, k--;
	        }
	        m--;
	    }
	}
	return 0;
}
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