数字信号处理FFT快速傅立叶变换MATLAB实现——实例

今天做作业的时候发现要对一个信号进行FFT变换，在网上找了半天也没找到个能看懂的（因为我太菜了），后来自己研究了一下，感觉一知半解的
起因是这道作业题

例题-满足奈奎斯特

我画了两个图，一个是原信号经过采样后的离散图，一个就是此信号经过FFT后的频谱图
因为是8kHZ采样，所以信号不会失真，频谱也是正确的
解答如下：

clear
close all
clc

fs=8000;%采样频率
n=0:99;%采样点100个
y=sin(0.00625*2*pi*n)+sin(0.0625*pi*2*n)+sin(0.125*2*pi*n);%采样后的信号 0.00625=50/8000
subplot(2,1,1);
stem(n,y)
title('抽样后信号的时域图像')
xlabel('n');ylabel('幅值');

Y = fft(y);%进行fft变换
f=(0:length(Y)-1)*fs/length(Y);%在频域，转换坐标为f，f= n*(fs/N)=Y的长度*采样频率,还是8k，但是在Matlab需要经过这样的运算
subplot(2,1,2)
stem(f,abs(Y));
title('信号频谱图')
xlabel('f/Hz')
ylabel('幅度')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

那么，如果采样频率没有满足奈奎斯特抽样定律，会发生什么呢
正好作业的第二道题就是不满足的

例题-不满足奈奎斯特

clear
close all
clc

fs=800;%采样频率
n=0:99;%采样点100个
y=sin(0.0625*2*pi*n)+sin(0.625*pi*2*n)+sin(1.25*2*pi*n);%采样后的信号 0.00625=50/8000
subplot(2,1,1);
stem(n,y)
title('抽样后信号的时域图像')
xlabel('n');ylabel('幅值');

Y = fft(y);%进行fft变换
f=(0:length(Y)-1)*fs/length(Y);%在频域，转换坐标为f，f= n*(fs/N)=Y的长度*采样频率,还是8k，但是在Matlab需要经过这样的运算
subplot(2,1,2)
stem(f,abs(Y));
title('信号频谱图')
xlabel('f/Hz')
ylabel('幅度')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

感觉和想象中不太一样，我还以为会乱成一片，那么经过观察，我们可以看到，在200HZ和300HZ出现了峰值，为啥在这里呢
因为以400HZ为对称轴的话，500HZ就走到400HZ那里又原路返回，1000HZ也同理

500HZ变成了红色的400HZ+100HZ
1000HZ变成了蓝色的400HZ+400HZ+200HZ
这就是频谱失真的情况

后续思考

然后看了这个，在上课时我又问了老师一个很弱智的问题

既然频谱不是混乱的，那倒着推出未失真的信号不就行了？

后来得到解答，仔细想一想就能发现，假如在200HZ幅度很大，那他既有可能是200HZ，也有可能是600HZ，也有可能是1000HZ等等，其实就是无限的
所以说即使是向上图那样的情况，也依旧不可能知道原信号的频率