解析：动态规划 01背包

动态规划：01背包

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有 N 件物品和一个最多能背重量为 W 的背包。第i件物品的重量是 weight[i]，得到的价值是 value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里 物品价值总和 最大。

每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！

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背包最大重量为4。

问背包能背的物品最大价值是多少？

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（1）dp[i][j] 表示从下标为 i 的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大是多少。

（2）有两个方向可以推出来 dp[i][j]：

• 【不放物品 i 的最大价值】由 dp[i - 1][j] 推出，即背包容量为 j，里面不放物品 i 的最大价值，此时 dp[i][j]就是dp[i - 1][j]
• 【放物品 i 的最大价值】由 dp[i - 1][j - weight[i]] 推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为 j - weight[i] 的时候不放物品 i 的最大价值，那么 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。
  （就是说想象一下，你往一个背包塞一个柚子，你是不是得 “空出这么大空间”，才塞的进去。那么在塞柚子之前，有这么大空间了，它的价值是不是 dp[i - 1][j - weight[i]] ，是的！）

（3）首先从 dp[i][j] 的定义触发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

（4）状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

// 倒叙遍历
for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; // 初始化i为0时候的情况
}
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这个初始化为什么是倒叙的遍历的？正序遍历就不行么？---- 不行！

正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！例如代码如下：

// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
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例如 dp[0][1] 是15，到了dp[0][2] = dp[0][2 - 1] + 15; 也就是dp[0][2] = 30 了，那么就是物品0 被重复放入了。

因为 dp[i-1][j-weight[i]] + value[i] 从左上角取值！正序就会重复放入，倒叙就不会，因为前面没值！

（5）初始化代码

// 初始化
int[][] dp = new int[weight.length + 1][bagWeight + 1];

for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
	dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
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（6）遍历过程

先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？ 其实都可以！！但是先遍历物品更好理解。

for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品：跳开初始化的第一个物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 
        if (j < weight[i]) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];  // 背包容量小于当前物品大小，自然放不进去了
		}                             // 这个是为了展现dp数组里元素的变化
        else {
			dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
    }
}
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优化：

for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品：跳开初始化的第一个物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 
        if (j >= weight[i]) {
			dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
		}
    }
}
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再优化：

                       // 遍历物品：遍历的是下标，会使用到 weight[i]、value[i]
for(int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品：跳开初始化的第一个物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量 
        dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
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（7）全部代码

package org.example;

public class test {
    public static void test_2_wei_bag_problem1() {
        int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;

        int[][] dp = new int[weight.length + 1][bagWeight + 1];

        for (int j = bagWeight; j >= weight[0]; j--) {
            dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
        }
        
		// 后面讲到滑动数组还可以优化
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) { // 遍历物品：从第二个物品开始遍历，代表你明白初始化边界条件
            for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
				dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }

        // 打印
        for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
                System.out.println(dp[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        test_2_wei_bag_problem1();
    }
}
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滑动数组：

package org.example;

public class test {
    public static void test_2_wei_bag_problem() {
        int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{15, 20, 30};
        int bagWeight = 4;

        int[] dp = new int[bagWeight + 1];

 		// 把初始化涵盖进去了，但是没有二维数组好理解了，需要深厚的基础才能对滑动数组游刃有余，
 		// 不然考试的时候又手忙脚乱，基础不牢！
 		// 滑动数组背包遍历必须倒叙，因为滑动数组覆盖掉了之前值，而二维数组不会！
 		
 		                // 遍历物品：遍历的是下标，会使用到 weight[i]、value[i]
        for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
            for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 
            }
        }
        // 放进去的是价值 value[i]，dp[j] 就是价值！
        System.out.println(dp[bagWeight]);
    }

    public static void main(String[] args) {
        test_2_wei_bag_problem();
    }
}
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理解成滑动数组：

1）物品 i = 0 的时候，相当于初始化
2）物品 i != 0 的时候，现在是滑动数组，只有一个数组，相当于重复第一次的初始化！
所以要深刻理解初始化！
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动态规划：完全背包