导数大题练习

已知函数$f(x)=x(1-\ln x)$
（1）讨论$f(x)$的单调性
（2）设$a,b$为两个不相等的正数，且$b\ln a-a\ln b=a-b$，
\qquad 求证：$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

解：
\quad (1)$f(x)$定义域为$(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=-\ln x$

\qquad 当$x\in (0,1)$时，$f^{\prime }(x)<0$
\qquad 当$x=1$时，$f^{\prime }(x)=0$
\qquad 当$x\in (1,+\infty )$时，$f^{\prime }(x)>0$

\qquad 所以单调递增区间为$(0,1]$，单调递减区间为$[1,+\infty )$

\quad (2)$b\ln a-a\ln b=a-b$整理得$\frac{\ln a+1}{a}=\frac{\ln b+1}{b}$，即$f(\frac{1}{a})=f(\frac{1}{b})$

\qquad 设$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=\frac{1}{b}$，不妨设$x_1<x_2$

\qquad 由(1)得$f(x)$在$(0,1]$单调递增，在$[1,+\infty )$单调递减

\qquad 所以$x_1\in (0,1),x_2\in (1,+\infty )$

\qquad ①证明$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>2$

\qquad 令$F(x)=f(x)-f(2-x)$

\qquad 则$F^{\prime }(x)=-\ln x-\ln (2-x)=-\ln x(2-x)$

\qquad 当$x\in (0,1)$时，$F^{\prime }(x)<0$，即$F(x)$单调递增

$F(x)<F(1)=0$，即$f(2-x)>f(x)$，$f(2-x_1)>f(x_1)=f(x_2)$

$\because 1<2-x_1<2$，$f(x)$在$[1,+\infty )$上单调递减

$\therefore 2-x_1<x_2$，得$x_1+x_2>2$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>2$

\qquad ②证明$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

\qquad 令$F(x)=f(x)-f(e-x)=2x-e+(e-x)\ln (e-x)-x\ln x$

$g(x)=2x-e+(e-x)\ln (e-x)$

\qquad 当$x\in (0,1)$时，$g^{\prime }(x)=1-\ln (e-x)>0$

\qquad 所以$g(x)$单调递增，得$g(x)>g(0)=0$

$\because$当$x\in (0,1)$时，$-x\ln x>0$

$\therefore F(x)=g(x)-x\ln x>0$

\qquad 即$f(x)>f(e-x)$，$f(e-x_1)<f(x_1)=f(x_2)$

$\because e-1<e-x_1<e$，$f(x)$在$[1,+\infty )$上单调递减，且$f(e-x_1)<f(x_1)=f(x_2)$

$\therefore e-x_1>x_2$，得$x_1+x_2<e$，即$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

\qquad 综上所述，$2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$

总结

以上是对这段时间学的内容的练习。解题过程并不严谨，但解题思路值得参考。若有错误，欢迎大家提出。