代码随想录算法训练营第四十一天| LeetCode343. 整数拆分、LeetCode96. 不同的二叉搜索树

一、LeetCode343. 整数拆分

        1：题目描述（343. 整数拆分）

        给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

        返回 你可以获得的最大乘积 。

        2：解题思路

        动态规划

        动规五部曲，分析如下：（代码随想录：整数拆分）

        1：确定dp数组（dp table）以及下标的含义

        dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

        dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

        2：确定递推公式

        可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

        其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

        一个是j * (i - j) 直接相乘。

        一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

        j怎么就不拆分呢？

        j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

        也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

        如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

        所以递推公式：dp[i] = max(dp[i],  (i - j) * j,  dp[i - j] * j);

        那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？

        因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

        3：dp的初始化

        dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

        只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

        4：确定遍历顺序

        确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

        dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

        枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

        所以遍历顺序为：从前到后

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        # 确定dp数组及其含义
        # dp[i]表示i被拆分后后，获得的最大值
        # 确定递推规则
        # 拆分为两个数：j * (i-j)
        # 拆分三个数及以上：j * dp[i-j]
        # 初始化
        # 0,1无法拆分，可以初始化为0
        # 2可以拆分为1*1，可初始化为1
        # 遍历顺序，从3开始遍历，直到遍历到n
        dp = [0] * (n+1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n+1):
            for j in range(1, i):
                # 假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1 <= j < i），则有以下两种方案：
                # 1) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * (i-j)
                # 2) 将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j * dp[i-j]
                # dp[i] = max(dp[i], max((j*(i-j)), j*dp[i-j]))
                dp[i] = max((j*(i-j)), j*dp[i-j], dp[i])
        return dp[n]

二、LeetCode96. 不同的二叉搜索树

        1：题目描述（96. 不同的二叉搜索树）

        给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

        2：解题思路

         动态规划

        动规五部曲，分析如下：（代码随想录：不同的二叉搜索数）

        1：确定dp数组（dp table）以及下标的含义

        dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

        也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。

        2：确定递推公式

        dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

        j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

        所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

        3：dp数组如何初始化

        初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。

        从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。

        从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。

        所以初始化dp[0] = 1

        4：确定遍历顺序

        首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

        那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        # 1：确定dp数组及其含义
        # dp[i]表示i个节点组成的二叉搜索数有多少种
        # 2：确认递推规则
        # dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]  (j表示以数值j作为头节点的二叉搜索数)
        # 3：初始化
        # 只需要初始化i=0的情况，一个节点都没有，也是一种二叉搜索数
        # 4：遍历顺序
        # 从1开始遍历，到n
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1, i+1):
                # 对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
                # 一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]
        return dp[n]