【模板】素数筛、素性测试

目标

素数筛选、标记、素数判断

暴力

纯暴力

从小于自己的数字中暴力搜索因数
单次查询的时间复杂度为O(n)

暴力优化

根据 n=a*b，不需要暴搜全部小于自己的数字
只搜索 小于√n 的数字即可
单次查询的时间复杂度为O(√n）

Code

略

埃氏筛

预处理时间复杂度 O (N ln ln N)
单次查询时间复杂度O(1)

证明

如果要证明一个数字是合数，只需要证明它是某个质数的倍数即可；因此只需要用质数更新后续判断即可；剪掉了合数更新的部分。

Code

bool vis[N];
inline void sss(int n){
	memset(vis,true,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<=n;i++)
	if(vis[i]){
		for(int k=2;k*i<=n;k++)
			vis[k*i]=false;
	}
	return ;
}
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欧拉筛

进一步减少重复情况

证明

每个合数只需要被它最小的那个质因子更新过一次就好了

Code

bool vis[N];int pp[N],tot;
inline void prim(int n){
	memset(vis,true,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(vis[i]) pp[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&pp[j]*i<=n;j++){
			vis[pp[j]*i]=false;
			if(i%prim[j]==0) break;
		}
	}
	return ;
}

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基于费马小定理 的费马查表法 和 MR素数筛 【待填】

速度块，基于概率事件的素数筛，所以有出错率。