证明方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 x^5-5x+1=0 x5−5x+1=0有且仅有一个小于 1 1 1的正实根。
解：
\qquad
令
F
(
x
)
=
x
5
−
5
x
+
1
F(x)=x^5-5x+1
F(x)=x5−5x+1
∵ F ( 0 ) = 1 > 0 , F ( 1 ) = − 3 < 0 \qquad \because F(0)=1>0,F(1)=-3<0 ∵F(0)=1>0,F(1)=−3<0
∴ F ( 0 ) ⋅ F ( 1 ) < 0 \qquad \therefore F(0)\cdot F(1)<0 ∴F(0)⋅F(1)<0
∵ F ( x ) \qquad \because F(x) ∵F(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上连续， F ( 0 ) ⋅ F ( 1 ) < 0 F(0)\cdot F(1)<0 F(0)⋅F(1)<0
\qquad 由连续函数的零点定理得 ∃ ξ ∈ ( 0 , 1 ) \exist \xi \in (0,1) ∃ξ∈(0,1)，使得 F ( ξ ) = 0 F(\xi)=0 F(ξ)=0
\qquad 又 ∵ F ′ ( x ) = 5 x 4 − 5 \because F'(x)=5x^4-5 ∵F′(x)=5x4−5，在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上始终有 F ′ ( x ) < 0 F'(x)<0 F′(x)<0
\qquad 即 F ( x ) F(x) F(x)在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上单调递减
∴ \qquad \therefore ∴方程 x 5 − 5 x + 1 = 0 x^5-5x+1=0 x5−5x+1=0有且仅有一个小于 1 1 1的正实根
遇到这一类题目，先构造一个函数 F ( x ) F(x) F(x)，求 F ( x ) F(x) F(x)的零点，在证明单调性即可解题。