图像中常见变换类型辨析

  在图像处理过程中，经常涉及许多关于图像变换的概念，比如：刚体变换、欧式变换、相似变换、仿射变换、透视变换等等，但他们之间的关系和区别经常混淆。因此本文简单的介绍和辨析一下这几种变换的区别与联系，帮助自己的理解和记忆。如有纰漏，望请指出。

1. 刚体变换（Rigid Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ R t 0 1 ] [ x y 1 ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ t x sin ⁡ θ cos ⁡ θ t y 0 0 1 ] [ x y 1 ]

== ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=[R0​t1​]⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​
刚体变换也叫刚性变换、欧式变换，是最基础的变换形式。其中$R$表示旋转矩阵，是一个正交阵$R{R}^T=I$，$t$表示平移向量。

• 变换形式：旋转和平移
• 自由度：三个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度、角度、面积

2. 等距变换（Isometric Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ ϵ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ t x ϵ sin ⁡ θ cos ⁡ θ t y 0 0 1 ] [ x y 1 ] , ϵ = ± 1

=,\epsilon=\pm1 ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​ϵcosθϵsinθ0​−sinθcosθ0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​,ϵ=±1
等距变换前后两点之间的距离不变。$ϵ=1$时，等距变换就等价于刚性变换、欧式变换，是保向的；$ϵ=-1$时，是逆向的，表示关于$Y$轴对称的反射变换。

• 变换形式：$ϵ=1$时，旋转和平移；$ϵ=-1$时，旋转、平移和反射（对称）
• 自由度：三个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度、角度、面积

3. 相似变换（Similar Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ s R t 0 1 ] [ x y 1 ] = [ s cos ⁡ θ − s sin ⁡ θ t x s sin ⁡ θ s cos ⁡ θ t y 0 0 1 ] [ x y 1 ]

== ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=[sR0​t1​]⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​scosθssinθ0​−ssinθscosθ0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​
相似变换是在刚性变换的基础上增加一个均匀放缩系数$s$。

• 变换形式：旋转、平移、放缩
• 自由度：四个自由度（一个旋转角$\theta$，两个平移向量$t_x,t_y$，一个放缩系数$s$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：角度、长度的比例和面积比例

4. 线性变换（Linear Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ A 0 0 1 ] [ x y 1 ] = [ a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 0 0 1 ] [ x y 1 ]

== ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=[A0​01​]⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​a11​a21​0​a12​a22​0​001​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​
线性变换要求变换前后的直线仍是直线，且直线之间的比例保持不变。

• 变换形式：旋转、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
• 自由度：四个自由度（四个线性变换元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$）
• 求解方式：需要两组点，四个方程求解
• 不变量：长度的比例和面积比例

5. 仿射变换（Affine Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ A t 0 1 ] [ x y 1 ] = [ a 11 a 12 t x a 21 a 22 t y 0 0 1 ] [ x y 1 ]

== ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=[A0​t1​]⎣⎡​xy1​⎦⎤​=⎣⎡​a11​a21​0​a12​a22​0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​
仿射变换是线性变换和平移变换的组合，能够保持二维图形的“平直性”和“平行性”，但是角度会改变。$A$表示仿射矩阵。

“平直性”：变换后直线还是直线、圆弧还是圆弧
“平行性”：平行线还是平行线，直线上点的位置顺序不变

• 变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）
• 自由度：六个自由度（四个仿射矩阵元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$，两个平移向量$t_x,t_y$）
• 求解方式：需要三组点，六个方程求解
• 不变量：平行线，平行线所分割线段长度的比例和面积的比例

5. 透视变换（Perspective Transformation）

[ x ′ y ′ 1 ] = [ A t v 1 ] [ x y z ] = [ a 11 a 12 t x a 21 a 22 t y v 1 v 2 1 ] [ x y z ]

== ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=[Av​t1​]⎣⎡​xyz​⎦⎤​=⎣⎡​a11​a21​v1​​a12​a22​v2​​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​
透视变换也叫做射影变换（Projection Transformation），是将图像投影到一个新的视平面。其中$v$用于产生图像透视变换。

• 变换形式：旋转、平移、放缩、反射（对称）、倾斜（错切）、透视
• 自由度：八个自由度（四个仿射矩阵元素$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$，两个平移向量$t_x,t_y$、两个透视变换元素$v_1,v_2$）
• 求解方式：需要四组点，八个方程求解
• 不变量：长度的交比