洛谷 P1064 - 金明的预算方案（分组背包）

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1\sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}+\cdots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行三个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
1
2
3
4
5
6

样例输出 #1

2200
1

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 3.2\times 10^4$，$1\le m\le 60$，$0\le v_i\le 10^4$，$1\le p_i\le 5$，$0\le q_i\le m$，答案不超过 $2\times 10^5$。

---

由于想要选择任意一个附件都必须要带上它对应的主件，那么可以不考虑该附件了，转而在遇到其主件的时候考虑要不要带上这个附件，那么不难想象，每个主件就必定构成了一个物品组，所以是一个分组背包问题，一个组里面就对应了多个主附件的搭配方案。

---

理解主附件的搭配关系

不妨定义v[i][j]、w[i][j]分别为第i组的第j个可选择的物品。

因为题目指明了主件的附件数量为0、1、2。
所以对于每个主件u其可能有的搭配方案无外乎以下几种情况：

• 附件数 = 0，那么u这一组就只有选择u这一个方案，那就是v[u][0] ~ w[u][0]。
• 附件数 = 1，假设该附件为i1，那么此时除了只选u以外还有选择u和i1，所以把后者方案存到v/w[u][1]里面，即v[u][1] = v[u][0] + i1的体积，同理w[u][1] = w[u][0] + i1的价值。
• 附件数 = 2，假设两个附件分别为i1和i2，很显然此时就会有四种方案可选了（就如下面树的状态），把它们分别存到v/w[u][*]里面，即 1. v/w[u][0]；2. v/w[u][1] = v/w[u][0] + i1的体积/价值；3. v/w[u][2] = v/w[u][0] + i2的体积/价值；4. v/w[u][3] = v/w[u][0] + i1的体积/价值 + i2的体积/价值；

---

于是，就处理好了主件与附件方案搭配。

C++代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 32010, M = 65;

int f[N];
int v[M][4], w[M][4];       //[i][j]：第i组的第j个物品；其中j = 0是放这个物品本身的价值、1...3放它与附件的搭配价值（如果有）
int m, n;       //总钱数、物品个数
bool vice[M];     //标记物品i是否为附件

int main(){
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        int vv, p, q;
        cin >> vv >> p >> q;
        v[i][0] = vv, w[i][0] = vv * p;
        
        if(q){     //它有所属的主件，将它与组合的搭配放置到w[主件][*]里面
            vice[i] = true;
            if(w[q][1]){       //主件已经有一个附件了
            
                //放进新的两种搭配：主件~附件2、主件~附件1 + 附件2
                v[q][2] = v[q][0] + v[i][0];
                w[q][2] = w[q][0] + w[i][0];
                
                v[q][3] = v[q][1] + v[i][0];
                w[q][3] = w[q][1] + w[i][0];
            }
            else{       //放置它与主件的第一个搭配：主件~附件1
                v[q][1] = v[q][0] + v[i][0];
                w[q][1] = w[q][0] + w[i][0];
            }
        }
    }
    
    //分组背包模板
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        if(!vice[i]){       //附件不再处理了，交到其主件那边处理
            for(int j = m;j >= 1;j --)
                for(int k = 0;k < 4;k ++)       //每组四个搭配（有些是0但不影响）
                    if(j >= v[i][k])
                        f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51