假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
参考链接:动态规划详解
简单来说,动态规划其实就是,给定一个问题,我们把它拆成一个个子问题,直到子问题可以直接解决。然后,把子问题答案保存起来,以减少重复计算。再根据子问题答案反推,得出原问题解的一种方法。
一般这些子问题很相似,可以通过函数关系式递推出来。然后,动态规划就致力于解决每个子问题一次,减少重复计算。比如斐波那契数列就可以看做入门级的经典动态规划问题。
核心思想:就在于拆分子问题,记住过往,减少重复计算。
斐波那契数列:F(0)=0,F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 2,n ∈ N*)
用递归来做:f(x)=f(x-1)+f(x-2)
爬第1级台阶:1种方法 1 => f(1)=1
爬第2级台阶:2种方法 1+1 ; 2 => f(2)=2
爬第3级台阶:3种方法 1+1+1;1+2;2+1 => f(3)=3
爬第4级台阶:5种方法 1+1+1+1;1+2+1;1+1+2;2+1+1;2+2 => f(4)=5
……
爬第n级台阶:是第n-1级台阶的方案和+第n-2级台阶的方案和 => f(n)=f(n-1)+f(n-2)
# 暴力递归
class Solution(object):
def climbStairs(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if (n==1): return 1
if (n==2): return 2
return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2)
递归树如下:
递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间 * 子问题个数
f(n-1)+f(n-2)
,也就是一个加法的操作,所以时间复杂度是 O(1);所以,递归解法的时间复杂度 : O ( 1 ) ∗ O ( 2 n ) = O ( 2 n ) O(1) * O(2^n) = O(2^n) O(1)∗O(2n)=O(2n),指数级别的爆炸增长,如果n比较大的话,容易超时。
仔细观察这颗递归树,会发现存在大量重复计算,比如f(8)
被计算了两次,f(7)
被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因,就是存在大量的重复计算!
既然存在大量重复计算,那么我们可以先把计算好的答案存下来,即造一个备忘录,等到下次需要的话,先去备忘录查一下,如果有,就直接取就好了,备忘录没有才开始计算,就可以省去重新重复计算的耗时啦!这就是带备忘录的解法。
带备忘录的递归解法(自顶向下)
一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。保存f(9)~f(1)
其实,还可以用动态规划解决这道题。
一般看到题目不需要列出来具体的多少种方案,只需要计算有多少种方案,基本上就可以尝试用动态规划算法来解决问题。想好用动态规划就想想动态规划五步曲。
关键词:有多少种方案 算法
dp
数组以及下标的含义:定义dp[i]
为爬上第 i 级台阶有多少种方案,爬到第i层楼梯,有dp[i]
种方法;dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
。i = 0
级开始爬的,所以从第 0 级爬到第 0 级,我们可以看作只有一种方案,即 dp[0]=1
;i = 1
代表从第 0 级到第 1 级,也只有一种方案,即爬1级,dp[1] = 1
;i=2
代表从第0级到第2级,有两种方案:dp[2]=2
。dp[i]
是从dp[i−1]
和 dp[i−2]
转移过来,所以从n往1和2遍历。dp[n]
。自底向上的动态规划
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的,都是减少重复计算,时间复杂度也都是差不多。但是呢:
动态规划有几个典型特征:最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中:
f(n-1)
和f(n-2)
称为 f(n) 的最优子结构f(n)= f(n-1)+f(n-2)
就称为状态转移方程f(1) = 1
,f(2) = 2
就是边界 f(10)= f(9)+f(8)
, f(9) = f(8) + f(7)
,这里的f(8)
就是重叠子问题。可以发现,f(n)只依赖前面两个数,所以只需要两个变量a和b来存储,就可以满足需求了,因此空间复杂度是O(1);循环n次,时间复杂度O(n)
我们来看下自底向上的解法,从f(1)往f(10)方向,想想是不是直接一个for循环就可以解决啦,如下:
class Solution(object):
def climbStairs(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
p=1 # f(1)
q=2 # f(2)
if (n<3):return n
else:
for i in range(3,n+1):
r = p+q
p = q
q = r
return r
什么是最优子结构?
一道动态规划问题,其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质