模拟退火算法

算法简介

模拟退火算法源于金属退火的原理。当固体温度很高时，内能较大，内部粒子进行快速的无序运动，当温度逐渐降低时，粒子运动速度逐渐下降，逐渐趋于有序，也基本趋于稳定。

在搜索全局最优解时，我们也可以先设置一个高温，然后逐渐降低温度，直到温度趋近于0。在冷却过程中，对于每个温度，都去迭代多次，来寻找局部最优解：

• 在当前位置进行一次扰动，模拟粒子从位置$x$跳到位置$x^{\prime }$
• 对于新的函数值，若更优，则跳到新的位置
• 若新的位置更劣，则有概率跳到新的位置

温度趋近于0时，算法结束，即可得出最终的答案。

算法原理

为什么要有概率跳出而不是不跳出呢？因为如果现在找到了一个局部最优解，虽然它不是全局最优解，但如果在一定范围内没有比它更优的解，那最后的结果就是这个局部最优解了。如果有一定的概率能跳出，则就有可能找到另一个局部最优解。最后取所有局部最优解的最优解，得出的结果有更大概率是全局最优解。

模拟退火算法是一个近似算法，它并不能保证找到的结果是全局最优解。

其中跳出的概率$P$满足以下公式（假设函数值最小为最优）：

P = { 1 f ( x ′ ) ≤ f ( x ) e f ( x ) − f ( x ′ ) k T   f ( x ′ ) > f ( x ) P=\left\{

\right. P=⎩ ⎨ ⎧​1f(x′)≤f(x)ekTf(x)−f(x′)​ f(x′)>f(x)​

其中$T$表示初始温度，$k$表示温度下降的速率。

可以看出，当温度越⾼时，越有可能跳出局部最优解；当温度越⼩时，越趋向于稳定，越不容易跳出局部最优解。

在温度固定的情况下，模拟退⽕算法需要迭代多次，迭代的次数越多，越容易找到局部最优解。这个迭代次数称为⻢尔科夫链。

但⻢尔科夫链越⻓，所需要的时间也越多。

例题

【HDU - 2899】Strange fuction

题目大意：定义函数$f(x)=6x^7+8x^6+7x^3+5x^2+ax$，$a$已知。求当$0\le x\le 100$时$f(x)$的最小值。保留四位小数。有多组数据。

用模拟退火算法搜索$x$。对于每个温度，求局部最优解。最后比较局部最优解，就能得出最后的结果。

code

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int tt,T=50;
double a,t0=100,t1,t2=1e-8,k=0.98;
double f(double x){
	return 6*x*x*x*x*x*x*x+8*x*x*x*x*x*x+7*x*x*x+5*x*x-a*x; 
}
double rd(double x){
	return rand()*1.0/RAND_MAX*x;
}
int main()
{
	srand(time(NULL));
	double x,y,tx,ty,px,py;
	scanf("%d",&tt);
	while(tt--){
		scanf("%lf",&a);
		t1=t0;
		x=0;
		px=0;py=f(0);
		while(t1>t2){
			y=f(x);
			for(int i=1;i<=T;i++){
				tx=x+(rand()%2*2-1)*t1;
				if(tx<-0.01||tx>100.01) continue;
				ty=f(tx);
				if(ty<y){
					x=tx;y=ty;
				}
				else{
					if(rd(1)<exp((y-ty)/t1)){
						x=tx;y=ty;
					}
				}
				if(ty<py){
					px=tx;py=ty;
				}
			}
			t1=t1*k;
		}
		if(px<0.0) px=0.0;
		if(px>100.0) px=100.0;
		printf("%.4f\n",f(px));
	}
	return 0;
}
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