• 代码随想录day56｜583. 两个字符串的删除操作｜72. 编辑距离｜编辑距离总结篇｜Golang

    代码随想录day56

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    代码随想录day56

    583. 两个字符串的删除操作

    72. 编辑距离

    动态规划之编辑距离总结篇

    583. 两个字符串的删除操作

     

    思路

    动态规划一

            本题和动态规划：115.不同的子序列相比，其实就是两个字符串都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。

            这次是两个字符串可以相互删了，这种题目也知道用动态规划的思路来解，动规五部曲，分析如下：

    1、确定dp数组以及下标的含义

            dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

            这里dp数组的定义有点点绕，大家要撸清思路。

    2、确定递推公式

    • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
    • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

    当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

    当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

    情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

    情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

    情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

            那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

            因为dp[i - 1][j - 1] + 1等于 dp[i - 1][j] 或 dp[i][j - 1]，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

    3、dp数组如何初始化

            从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

            dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。

    dp[0][j]的话同理，所以代码如下：

    1. vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector(word2.size() + 1));
    2. for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
    3. for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

    4、确定遍历顺序

            从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

            所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

    5、举例推导dp数组

            以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

     以上分析完毕，代码如下：

    1. func minDistance(word1 string, word2 string) int {
    2. 	dp := make([][]int, len(word1)+1)
    3. 	for i := 0; i < len(dp); i++ {
    4. 		dp[i] = make([]int, len(word2)+1)
    5. 	}
    6. 	//初始化
    7. 	for i := 0; i < len(dp); i++ {
    8. 		dp[i][0] = i
    9. 	}
    10. 	for j := 0; j < len(dp[0]); j++ {
    11. 		dp[0][j] = j
    12. 	}
    13. 	for i := 1; i < len(dp); i++ {
    14. 		for j := 1; j < len(dp[i]); j++ {
    15. 			if word1[i-1] == word2[j-1] {
    16. 				dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
    17. 			} else {
    18. 				dp[i][j] = min(min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1), dp[i-1][j-1]+2)
    19. 			}
    20. 		}
    21. 	}
    22. 	return dp[len(dp)-1][len(dp[0])-1]
    23. }
    24.  
    25. func min(a, b int) int {
    26. 	if a < b {
    27. 		return a
    28. 	}
    29. 	return b
    30. }

    72. 编辑距离

             编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。

            编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

    接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：

    1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

            dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

            这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？        

            用i来表示也可以！ 但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。

    2. 确定递推公式

            在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

    1. if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    2.     不操作
    3. if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    4.     增
    5.     删
    6.     换

    也就是如上4种情况。

            if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

            此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

            那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

    在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

    在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

    if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

            操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

            操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

                     dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

    这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

    word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：

    1.             a                         a     d
    2.    +-----+-----+             +-----+-----+-----+
    3.    |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
    4.    +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
    5.  a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
    6.    +-----+-----+             +-----+-----+-----+
    7.  d |  2  |  1  |
    8.    +-----+-----+

    操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。

            即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    递归公式代码如下

    1. if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    2.     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    3. }
    4. else {
    5.     dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
    6. }

    3. dp数组如何初始化

            再回顾一下dp[i][j]的定义：

            dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

            那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

    dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

    那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

    同理dp[0][j] = j;

    所以C++代码如下：

    1. for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
    2. for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

    4. 确定遍历顺序

    从如下四个递推公式：

    • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
    • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
    • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
    • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

    可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

    所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。 

    1. for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
    2.     for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
    3.         if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    4.             dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    5.         }
    6.         else {
    7.             dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
    8.         }
    9.     }
    10. }

    5. 举例推导dp数组

    以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

     

    1. func minDistance(word1 string, word2 string) int {
    2. 	m, n := len(word1), len(word2)
    3. 	dp := make([][]int, m+1)
    4. 	for i := range dp {
    5. 		dp[i] = make([]int, n+1)
    6. 	}
    7.     for i:=0;i1;i++{
    8.         dp[i][0] = i    // word1[i] 变成word2[0]，删除word1[i]需要i步操作
    9.     }
    10.     for j:=0;j1;j++{
    11.         dp[0][j] = j    // word1[0] 变成word2[j], 插入word1[j]需要j步操作
    12.     }
    13.     for i:=1;i1;i++{
    14.         for j:=1;j1;j++{
    15.             if word1[i-1] == word2[j-1] {
    16.                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] 
    17.             } else {    // min(插入、删除、替换)
    18. 				dp[i][j] = Min(dp[i][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + 1
    19.             }
    20.         }
    21.     }
    22.     return dp[m][n]
    23. }
    24. func Min(args ...int) int {
    25. 	min := args[0]
    26. 	for _, item := range args {
    27. 		if item < min {
    28. 			min = item
    29. 		}
    30. 	}
    31. 	return min
    32. }

    动态规划之编辑距离总结篇

    本周我们讲了动态规划之终极绝杀：编辑距离，为什么叫做终极绝杀呢？

    细心的录友应该知道，我们在前三篇动态规划的文章就一直为 编辑距离 这道题目做铺垫

    判断子序列

    动态规划：392.判断子序列给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

    这道题目 其实是可以用双指针或者贪心的的，但是我在开篇的时候就说了这是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。

    • if (s[i - 1] == t[j - 1])
      • t中找到了一个字符在s中也出现了
    • if (s[i - 1] != t[j - 1])
      • 相当于t要删除元素，继续匹配

    状态转移方程：

    1. if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
    2.     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
    3. } else {
    4.     dp[i][j] = dp[i][j - 1]
    5. }

    不同的子序列

    动态规划：115.不同的子序列给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。本题虽然也只有删除操作，不用考虑替换增加之类的，但相对于动态规划：392.判断子序列

    就有难度了，这道题目双指针法可就做不了。

    当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

    一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。

    一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

    这里可能有同学不明白了，为什么还要考虑 不用s[i - 1]来匹配，都相同了指定要匹配啊。

    例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

    当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。

    所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

    当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配，即：dp[i - 1][j]

    所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

    状态转移方程：

    1. if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
    2.     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
    3. } else {
    4.     dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    5. }

    两个字符串的删除操作

          动态规划：583.两个字符串的删除操作给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。
            本题和动态规划：115.不同的子序列相比，其实就是两个字符串可以都可以删除了，情况虽说复杂一些，但整体思路是不变的。

    • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
    • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

    当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

    当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

    情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

    情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

    情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

    那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

    状态转移方程：

    1. if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    2.     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    3. } else {
    4.     dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
    5. }

    编辑距离

    动态规划：72.编辑距离

            给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

    编辑距离终于来了，有了前面三道题目的铺垫，应该有思路了，本题是两个字符串可以增删改，比 动态规划：判断子序列

    ，动态规划：不同的子序列，动态规划：两个字符串的删除操作都要复杂的多

    在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

    • if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
      • 不操作
    • if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
      • 增
      • 删
      • 换

    也就是如上四种情况。

    if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

    此时可能有同学有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

    那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1] 就是 dp[i][j]了。

    在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

    在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

    if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

    操作一：word1增加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-2为结尾的word1 与 i-1为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。

    即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

    操作二：word2添加一个元素，使其word1[i - 1]与word2[j - 1]相同，那么就是以下标i-1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个增加元素的操作。

    即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

    这里有同学发现了，怎么都是添加元素，删除元素去哪了。

    word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word2添加一个元素d，也就是相当于word1删除一个元素d，操作数是一样！

    操作三：替换元素，word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 加上一个替换元素的操作。

    即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

    递归公式代码如下：

    1. if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    2.     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
    3. }
    4. else {
    5.     dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
    6. }

    总结

    心思的录友应该会发现我用了三道题做铺垫，才最后引出了动态规划：72.编辑距离

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_42161901/article/details/127890280