我们都知道， ( ln x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\dfrac 1x (lnx)′=x1。那么 ln ∣ x ∣ \ln |x| ln∣x∣的导数是什么呢？
我们先看定义域。 ln ∣ x ∣ \ln |x| ln∣x∣的定义域为 ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) (-\infty,0)\cup(0,+\infty) (−∞,0)∪(0,+∞)
当
x
∈
(
−
∞
,
0
)
x\in(-\infty ,0)
x∈(−∞,0)时，
ln
∣
x
∣
=
ln
(
−
x
)
\ln |x|=\ln (-x)
ln∣x∣=ln(−x)，那么
(
ln
∣
x
∣
)
′
=
(
ln
(
−
x
)
)
′
=
1
x
(\ln |x|)'=(\ln (-x))'=\dfrac 1x
(ln∣x∣)′=(ln(−x))′=x1
注意 ln ( − x ) \ln (-x) ln(−x)是复合函数， ( ln ( − x ) ) ′ = − 1 x × ( − 1 ) = 1 x (\ln (-x))'=-\dfrac 1x\times (-1)=\dfrac 1x (ln(−x))′=−x1×(−1)=x1
当
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x\in(0,+\infty)
x∈(0,+∞)时，
ln
∣
x
∣
=
ln
x
\ln |x|=\ln x
ln∣x∣=lnx，那么
(
ln
∣
x
∣
)
′
=
(
ln
x
)
′
=
1
x
(\ln |x|)'=(\ln x)'=\dfrac 1x
(ln∣x∣)′=(lnx)′=x1
所以 ( ln ∣ x ∣ ) ′ = 1 x (\ln |x|)'=\dfrac 1x (ln∣x∣)′=x1
虽然两个函数的导数相同，但两个函数的定义域不同。
ln
x
\ln x
lnx的定义域为
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(0,+∞)，
ln
∣
x
∣
\ln |x|
ln∣x∣的定义域为
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
+
∞
)
(-\infty,0)\cup(0,+\infty)
(−∞,0)∪(0,+∞)。
所以用的时候要注意。