信息熵，交叉熵，KL散度，互信息一网打尽

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一直以来都是自己有时候 想去搞明白就搜搜博客看，模棱两可，记忆也比较模糊，这次直接较为系统的记录一下，之后忘了也能看看~

1. 信息熵

这个概念是从信息论出现的，是香农定义的，根据事件发生的概率进行定义。具体上：

事件发生概率越小，包含的信息量越大。
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意思就是，很少发生的事件，会让人surprise，维基百科Entropy很好的解释了这个，当时看到surprise开始不理解，查了之后具体就是 等价于 信息。 因为香农认为让人惊奇的事情包含信息量大，如 太阳每天东边升起，没什么信息量=0（必然事件，概率=1），中彩票，概率小，信息量大。
公式是： 根据对数定义，和事件发生的概率 是 成反比的。log满足了 p=1，信息量=0

一般就是这两种形式，对数 分数或者-log， 信息量有时候也被称为 编码长度，方便理解

熵被定义为= 相应事件的概率*事件的信息量

2. 交叉熵 wiki

含义： 数据是基于一个wrong的 q的编码长度 然而 数据真正是 遵循一个p分布。

p的期望*基于q的编码长度。 p一般是真实的数据分布概率，q的编码长度是 模型输出的，根据交叉熵，能够对模型输出的q一直进行调整，当p和q的 编码一致时，损失最小。（多分类，one-hot标签情况下）

知乎有个分类的例子去计算 ，真实标签作为p的期望，所得的概率，计算出编码长度和p的期望进行计算交叉熵。

3. KL散度

性质：不对称
衡量两个分布之间的距离，但这个不是常见的距离，这也是被称为散度，而不是距离的原因。 因为KL散度不符合距离的对称性，即KL（P||Q) != KL(Q||P) . 同时不满足三角不等式，因此不是距离，而是 divergence

上面是离散形式，底下是连续变量之间的。 通过离散形式的第二项（变成类似熵形式），可以看出KL散度=交叉熵-熵，这就是多分类里面常用交叉熵来代替KL散度的原因，因为KL散度第二项熵是 常量，因此可以省略。

解释：

KL散度本质上是 采用Q编码系统来解码 基于P编码系统的数据 所 额外需要 进行传输 的数据，即就是 交叉熵（Q解码P）-熵（P解码P）。当两者分布相同，交叉熵 H（P，Q）-熵H（P） =0， 即 通过Q解码数据P 和 通过P解码P一样。
这里 知乎或者csdn 有部分解答，但是很多都说错了。他们都是说 基于P去解码Q，只有一个对的，和wiki一样
这个链接是错的，就是底下这个 他说 是 基于P编码 Q

这个是对的KL散度解释， 两个不同之处就在于 是Q去编码P，开始一直疑惑这里到底谁是，

维基百科 这里很直接指出了：KL= 采用一个Q编码系统而不是 P编码系统 来去编码 P的数据 的差值，也就是 交叉熵-熵

4. 互信息 wiki

这个Venn图经典也直观，两个圆相交的区域 （紫色）就是互信息。性质：非负，对称。

互信息有很多种定义形式：

1. 边缘分布和联合分布乘积之间的KL散度
   

2. 熵-条件熵 。

    这里从Venn图就可以看出来，紫色=左侧圆（熵）-左侧红色（条件熵）
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3. 2个熵-联合熵

   这里先指出：联合熵=上面Venn图中所有有颜色的区域，即两个圆面积-1*相交区域（紫色）。
   因此从 Venn图看出 MI= H（x）+H（Y）  - H（X，Y）。  前面两项把中间算2次-后面这项只算一次，就=中间紫色区域
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4. 联合熵-2个条件熵

    紫色=总面积-左边红-右边蓝
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Proof：

从1推其余的 wiki里面的

从 其余的推1推导