第三章 多维随机变量及其分布

思维导图

基础知识

二维随机变量

我们研究一个多维的东西，往往先从较低的维度比如说二维作为主要的研究对象，一个是因为维度低会比较简单，易于理解；另一个则是考试中低维的问题往往更加常见

定义与分布函数

定义上其实很简单，其实就是之前的一维随机变量变两个，然后用向量来表示，比如
(X,Y）
当然和一维的情况类似，二维我们也是借助分布函数来研究。

分布函数

定义：设（X,Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，有二元函数
该函数就是二维随机变量（X,Y）的分布函数，这种分布函数还有另外一个名字：X和Y的联合分布函数

分布函数的基本性质

1.不减，其实就和一维的一样，类似于多元里的求偏导，我们固定一个维度，比如y或x，然后另外一个维度就是一个不减的情况。
2.范围是[0,1]
3.两个维度上的左右连续
4.对于任意的（x1，y1），（x2，y2），x1

离散型

类比一维的离散型，其实还是有限对或者可列无限多对情况。
然后和一维的一样，也有分布律，在本节中主要是联合分布律。

联合分布律

其实就是求P{X=i,Y=j}，结合分布函数或许比较好理解。

连续型

回想一维的，其实从概率密度到分布函数是一个积分的过程，而二维也是类似，不过用到了重积分

和上面的联合分布律类似，概率密度也有联合概率密度。
至于它的基本性质类比一维。

联合概率密度

基本性质：
1.非负
2.规范性
3.几何性质
4.点的连续性

边缘分布

前面的
F(X,Y)
是联合分布函数，当我们只选取其中的一个变量的时候，得到的函数如

就叫做边缘分布函数，由于联合分布的其中一个性质

FY(y）同理
我们还是分离散型和连续型两类来考虑边缘分布函数。

离散型

离散型分布对应的边缘分布律，我们通过前面的公式可以得到

离散型二维随机变量（X,Y）关于X的边缘分布函数和边缘分布律，Y同理。

连续型

结合一维的情况，离散型从分布律到分布函数是用加和，而连续型从概率密度到分布函数用积分，边缘分布也是如此。

公式的理解

其实很好理解，当我们需要求边缘的时候，肯定需要忽略其他因素，这时就是只考虑边缘因素将联合概率重分配，或者划分，就可以得到边缘分布的情况。

条件分布

我们联系第一章的条件概率

再看下面的条件概率公式
分子是联合概率，分母是边缘概率，即条件。
注意分母不能为0！！！

离散型

对于离散，我们只要思考两个东西：分布函数和分布律。
而分布函数其实就是分布律的加和，所以我们只研究分布律即可。

这个其实就是条件分布律。

连续型

离散研究分布律，连续就看概率密度

这就是条件概率密度。

相互独立的随机变量

这一部分的知识点其实也是很简单的，就是一个二维随机变量的两个分量在几何上属于绝对垂直的i情况，即互无影响，互相独立，
对于独立事件，有

而在本节中，变成了

即联合分布维两个边缘分布的乘积，此时X和Y相互独立。

两个随机变量的函数的分布

**注意：**本节内容只涉及
除此之外，以下都是关于连续型，而离散型只需要我们把分布律列出来即可。

Z=X+Y

z=x+y这个条件，我们可以做出替换，比如，x=z-y，或者y=z-x，然后得到下列关于z的概率密度

通过积分后就可以得到只与z相关的概率密度函数。
如果X和Y独立，那么有

这种公式又称为卷积公式。

小定理

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
Z = max{X, Y} 和 Z= min{X，Y}

手写笔记

课后习题