本文是学习以后的备忘，水平有限，如果出现错误，请理解。
不带’的参数均为静止参照系X的参数，带’的均为运动参照系X’的参数。
洛伦兹变换可以看作公理，所以从这里开始吧。
令 k = 1 − u 2 / c 2 k=\sqrt{1-u^2/c^2} k=1−u2/c2
式1: x ′ = x − u t k x'=\frac{x-ut}{k} x′=kx−ut
式2: t ′ = t − u x / c 2 k t'=\frac{t-ux/c^2}{k} t′=kt−ux/c2
式1是说，初始时两参照系坐标原点重合，从静止在X参照系上的小人来看，当X’参照系开始以速度u匀速直线运动时，已知某点在X参照系的位置x，和参照系X’的运行时间t（在X看来的时间），就可以求出此时(t)该点在X’参照系对应的位置x‘。
尺缩效应是指，长度为l的尺子，沿着尺子刻度的方向运动时，对于静止的观者来说，尺子长度会变短，变成 l ∗ k l*k l∗k的长度。
如何用洛伦兹变换推导尺缩效应？
式1中，t=0时，在两个参照系坐标原点重合时，X参照系坐标为 l ∗ k l*k l∗k点，在X’参照系的读数为l。即在X’参照系长度为l的尺子，在X参照系看起来缩短了，变成了 l ∗ k l*k l∗k。
由于式2不带x’，可认为X‘参照系没有刻度，自然也无所谓在运动（因为运动着的光滑的棍子是看不出在运动的），而是X‘参照系上处处存在且看起来不运动的“闹钟们”在转动。取x和t，可得t时刻x点在X’参照系上的对应点的闹钟读数。若取x=0原点处，则对应x’=0处读数 t ′ = t / k t'=t/k t′=t/k。
看 u x / c 2 ux/c^2 ux/c2项。这一项告诉我们任意时刻，从X参照系上的观者来看，在X’参照系中不同位置的时间是不同的。如果在X’参照系中各点上放置“闹钟”，各个闹钟时刻是不同的。在u正方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“过去”。在u负方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“未来”。
这里有点违反直觉。在u负方向上，越远的位置，闹钟时刻越往“未来”。这意味着未来的事情，此时在远处已经发生了。那么现在的我们能够看到未来发生的事件吗？这是不行的。再看 u x / c 2 ux/c^2 ux/c2项。
u x c 2 = u c x c \frac{ux}{c^2}=\frac{u}{c}\frac{x}{c} c2ux=cucx
第一项u\c可看作一个总是小于1的比率。第二项x\c是光运动x距离需要的时间。两个相乘是一个总小于光运动x距离需要的时间的数字。远处x处未来发生的事情，花费光运动x距离需要的时间到达原点，再被观者获取，此时对于观者来说，已经不是未来而是过去了。
钟慢效应说的是对于静止的观者来说，运动的闹钟比静止的闹钟“转”得慢。
乍一看来，由式2可得 t ′ = t / k t'=t/k t′=t/k，
跟钟慢效应正好相反。这里容易出错，需要仔细分析。
式2中，令 x = 0 x=0 x=0，得到 t ′ = t / k t'=t/k t′=t/k。此式是指观者在X参照系原点处，用静止钟的读数除以k，就是X’参照系该点的闹钟读数。这个场景中，对于X参照系的观者，闹钟并没有动，与钟慢效应中的场景不符。
正确的思路是令x=ut，即考察的钟在以速度u运动。带入式2得， t ′ = t ∗ k t'=t*k t′=t∗k，就得到了正确的钟慢效应式。
再回来进一步分析式2。
前面分析过在X参照系原点处，存在关系t’=t/k，t’较小。而在x=ut处，t’=t*k，t’较大。则令x=vt，t=t’，可得
v = ( 1 − k ) c 2 u v=\frac{(1-k)c^2}{u} v=u(1−k)c2，v等于这个值时，t=t’，两者相等。
参考费恩曼讲义的一道课后题。
已知起始状态静止的飞船受到恒定的加速度g’，对于静止的观者来说飞船航行了时间t，求飞船飞过的距离x，飞船的速度v，飞船加速度g，和飞船t’。
对于飞船，有式3:
g ′ d t ′ = d v ′ g'dt'=dv' g′dt′=dv′
由速度合成公式得式4:
v + d v = v + d v ′ 1 + v d v ′ c 2 v+dv=\frac{v+dv'}{1+\frac{vdv'}{c^2}} v+dv=1+c2vdv′v+dv′
整理并省略 d v d v ′ v c 2 \frac{dvdv'v}{c^2} c2<