2020江西省赛A 莫比乌斯反演

题意：

计算
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i[gcd(i,j)=1]f(j)$$
其中$f(x)$是$x$的数位和

Solution：

莫比乌斯反演得到
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{i}f(j)\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d)$$
优先枚举因子$d$
$$\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=i}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(id)=\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(id)\sum _{j=i}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }1=\sum _{d=1}^n\mu (d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(id)(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor -i+1)$$
枚举组合项$T=id$
$$\sum _{T=1}^{n}f(T)\sum _{d|T}\mu (d)(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor -\frac{T}{d}+1)$$
预处理$f,\mu$计算，时间复杂度$O(n\sqrt{n})$

// #include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

int prime[N],mu[N],cnt,f[N];
bitset<N>nt;

int getval(int x)
{
    int ret=0;
    while(x)
    {
        ret+=x%10;
        x/=10;
    }
    return ret;
}

void make_prime()
{
    mu[1]=1; f[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!nt[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            nt[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=mu[i]*mu[prime[j]];
        }
        f[i]=getval(i);
    }
}

int n;

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    make_prime(); cin>>n;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll del=0,limit=sqrt(i);
        for(int j=1;j<=limit;j++)
        {
            if(i%j) continue;
            del+=mu[j]*(n/j-i/j+1);
            if(j*j!=i) del+=mu[i/j]*(n/(i/j)-i/(i/j)+1);
        }
        // cout<
        ans+=f[i]*del;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
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