线性代数 --- 投影Projection 三（投影矩阵P）

投影矩阵P

       

在前面的两篇关于投影的文章中，我们的学习重点分别是：

1，如何计算一个任意向量b在另一个向量a上的投影。也就是计算投影系数和投影向量p(小写)。

线性代数 --- 投影Projection 一（投影向量p）_松下J27的博客-CSDN博客_线性投影线性代数中的投影矩阵p, p=xahttps://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/120516295

2，进一步加深投影即分量的理解。看到了任意向量b，在x,y坐标轴上的投影p1,p2，恰好且正好等于向量b在这些相互正交向量x,y上的分量。

线性代数 --- 投影Projection 二（投影即分量）_松下J27的博客-CSDN博客投影即分量https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/127746984

        而学习投影矩阵的主要目的是：看看怎么把任意向量b投影到a上。换句话说，在前面的学习中，我们找出了向量b在二维平面中，分别在x轴和y轴上的两个相互垂直的投影/分量：

 (Find x hat)

 (Find x hat)

也计算出了向量b在三维平面中，分别在x-y平面和z轴上的两个相互垂直的投影/分量:

 (Find x hat)

 (Find x hat)

但“怎么”把空间中的一个任意向量b投影到这些我们指定的坐标轴上？就要用到我们这里要学习的投影矩阵P(用大写的英文字母P表示)，即:

        比如说，我们要把任意向量b投影到向量a上，我们只要算出了投影系数就等于知道了投影向量p，但怎么把b投影到a上呢？就需要用到投影矩阵P，让这个矩阵P左乘向量b，就能得到同样的投影向量p，即如下关系： 

         更进一步说，前面学习的投影向量或投影系数，更像是在研究从向量b ---> 向量p(在向量a上)，这种一对一的关系。而投影矩阵更像是在研究多对多的关系，有了投影矩阵P(对应于向量a的)以后，就可以把空间中所有的向量b,c,d,e,f.....等，通通都投影到a上，得到投影向量p_b,p_c,p_d.....等。

        比如说，我们有了可以把任意向量都投影到x轴的投影矩阵P以后（注意：这里投影矩阵P是 专门针对于x轴的矩阵)，那么只要把投影矩阵P右乘空间中的任何一个向量v，就能把这个向量投影到x轴上了，并且得到投影向量p=Pv。

小结：研究投影向量/投影系数更像是在研究How much? 而研究投影矩阵更像是在研究How?

---

如何计算投影矩阵

        

p的左半边是一个矩阵P乘以一个向量b(所要强调的是投影矩阵P)，p的右半边是一个常数乘以一个向量a(这里要强调的是投影系数的计算)。

---

二维空间中的投影矩阵

        通过前面的投影即分量的学习，我们已经求出了，在二维x-y平面中，任意向量 b在x轴和y轴上的投影向量p1=[x 0]'和p2=[0 y]'。现在我们看看究竟是什么样的矩阵---投影矩阵P? 才能把b投影到指定的方向上，即x轴方向和y轴方向。严格意义上说，不只是把b，而是可以把所有的向量都投影到指定的方向上去。（请大家特别注意：我在文中专门用小写的英文字母p表示投影向量，用大写的英文字母P表示投影矩阵）

根据投影矩阵P的计算公式（a表示P所对应的投影的方向）： 

P=aaTaTa" role="presentation">P=aaTaTa$\mathit{P}\mathbf{=}\frac{\mathit{a}{\mathit{a}}^{\mathit{T}}}{{\mathit{a}}^{\mathit{T}}\mathit{a}}$

分别算出：

1，可以把任意向量都投影到x轴方向上的投影矩阵P1。

2，可以把任意向量都投影到y轴方向上的投影矩阵P2。

        用投影系数/投影向量的方法算出来的投影p和用投影矩阵的方法算出来的投影p相等，且，不仅向量b的两个投影向量/两个分量p1,p2，他们两两正交且互为正交补。同时，p1,p2所对应的两个投影矩阵P1,P2的和正好等于相同维度的单位矩阵I。

 且有：

P2=P=PT" role="presentation">P2=P=PT$P^2=P=P^T$

也就是说，无论时把向量b投影到某个方向上多少次，得到的，依然还是同一个投影向量p，即：

Pb=p=P2b=Pnb" role="presentation">Pb=p=P2b=Pnb$Pb=p=P^{2}b=P^{n}b$

 投影矩阵P不可逆。

---

三维空间中的投影矩阵

 1，可以把任意向量都投影到z轴上的投影矩阵P1为：

  2，可以把任意向量都投影到x-y平面上的投影矩阵P2为：

---

不论是通过投影系数计算还是用投影矩阵计算，两种方式都能得到相同的结果：

例：find向量b在向量a上的投影

这是之前用投影系数计算出来的结果： p=x^a" role="presentation">p=x^a$p=\hat{x}a$

这是用投影矩阵计算的结果：p=Pb

---

用投影矩阵证明，两个互相垂直的向量在彼此方向上的投影为0向量：

 （全文完）

作者 --- 松下J27

鸣谢（参考文献）：

1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang

 2，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.

金句赏析：

我听爷爷讲了一个故事

故事里的事是那昨天的事

故事里有好人也有坏人

故事里有好事也有坏事

故事里有多少是是非非

故事里有多少非非是是

故事里的事说是就是 不是也是

故事里的事说不是就不是 是也不是

故事里的事说是就是 不是也是

故事里的事说不是就不是 是也不是

故事里的事也许是已真实

故事里的事也许是从来没有的事

其实故事本来就是已故事

故事 就是故事 故事就是故事

 （配图与本文无关）

版权声明：所有的笔记，可能来自很多不同的网站和说明，在此没法一一列出，如有侵权，请告知，立即删除。欢迎大家转载，但是，如果有人引用或者COPY我的文章，必须在你的文章中注明你所使用的图片或者文字来自于我的文章，否则，侵权必究。 ----松下J27