数学科学的完整课程大纲（工科自学必看）

数学科学的完整课程

• 第一
• • 1. 数学分析
  • • 第1章 数学基础
    • 第2章 数系
    • • 实数系
      • 复数系
      • 广义实数系
    • 第3章 拓扑
    • PART A 数列
    • • 第A1章 数列
      • 第A2章 数列差分
      • 第A3章 数列求和
      • 第A4章 数项级数
      • 第A5章 特殊数列
    • PART B 函数
    • • 第B1章 函数
      • 第B2章 微分
      • 第B3章 Riemann积分
      • 第B4章 函数项级数
      • 第B5章 特殊函数
    • PART C 多元函数
    • • 第C1章 多元函数
      • 第C2章 多元函数的微分
      • 第C3章 微分形式的积分
      • 第C4章 含参变量的积分
      • 第C5章 特殊多元函数
    • 进阶
    • • 第1章 实分析初步
      • 第2章 复分析初步
  • 2. 高等代数
  • • 第一章 行列式
    • • § 1 二阶行列式
      • § 2 三阶行列式
      • § 3 $n$ 阶行列式
      • § 4 行列式的展开和转置
      • § 5 行列式的计算
      • § 6 行列式的等价定义
      • § 7 Laplace 定理
    • 第二章 矩阵
    • • § 1 矩阵的概念
      • § 2 矩阵的运算
      • § 3 矩阵的逆阵
      • § 4 矩阵的初等变换与初等矩阵
      • § 5 矩阵乘积的行列式与用初等变换法求逆阵
      • § 6 分块矩阵
      • § 7 Cauchy-Binet公式
    • 第三章 线性空间
    • • § 1 数域
      • § 2 行向量和列向量
      • § 3 线性空间
      • § 4 向量的线性关系
      • § 5 向量组的秩
      • § 6 矩阵的秩
      • § 7 坐标向量
      • § 8 基变换与过渡矩阵
      • § 9 子空间
      • § 10 线性方程组的解
    • 第四章 线性映射
    • • § 1 线性映射的概念
      • § 2 线性映射的运算
      • § 3 线性映射与矩阵
      • § 4 线性映射的像与核
      • § 5 不变子空间
    • 第五章
    • • § 1 一元多项式代数
      • § 2 整除
      • § 3 最大公因式
      • § 4 因式分解
      • § 5 多项式函数
      • § 6 复系数多项式
      • § 7 实系数多项式和有理系数多项式
      • § 8 多元多项式
      • § 9 对称多项式
      • § 10 结式和判别式
    • 第六章 特征值
    • • § 1 特征值和特征向量
      • § 2 对角化
      • § 3 极小多项式与Cayley-Hamilton定理
      • § 4 特征值的估计
    • 第七章 相似标准型
    • • § 1 多项式矩阵
      • § 2 矩阵的法式
      • § 3 不变因子
      • § 4 有理标准型
      • § 5 初等因子
      • § 6 Jordan 标准型
      • § 7 Jordan 标准型的进一步讨论和应用举例
      • § 8 矩阵函数
    • 第八章 二次型
    • • § 1 二次型的化简与矩阵的合同
      • § 2 二次型的化简
      • § 3 惯性定理
      • § 4 正定型与正定矩阵
      • § 5 Hermite 型
    • 第九章 内积空间$\hfill$18 学时
    • • § 1 内积空间的概念
      • § 2 内积的表示和正交基
      • § 3 伴随
      • § 4 内积空间的同构，正交变换和酉变换
      • § 5 自伴随算子
      • § 6 复正规矩阵
      • § 7 实正规矩阵
      • § 8 谱
      • § 9 最小二乘解
    • 第十章 双线性型$\hfill$10 学时
    • • § 1 对偶空间
      • § 2 双线性型
      • § 3 纯量积
      • § 4 交错型与辛空间
      • § 5 对称型与正交几何
  • 3. 几何学
  • • 第一章 射影平面
    • • 第一讲 引论
      • 第二讲 拓广平面
      • 第三讲 拓广平面上的齐次坐标
      • 第四讲 射影平面
      • 第五讲 平面对偶原则
      • 第六讲 Desargues透视定理
    • 第二章 射影变换
    • • 第七讲 交比
      • 第八讲 完全四点形和完全四线形的调和性
      • 第九讲 一维基本形的射影对应
      • 第十讲 一维射影变换
      • 第十一讲 一维基本形的对合
      • 第十二讲 二维射影变换
    • 第三章 变换群与几何学
    • • 第十三讲 射影仿射平面
    • 第四章 二次曲线理论
    • • 第十四讲 二次曲线的射影定义
      • 第十五讲 Pascal定理和Brianchon定理
      • 第十六讲 配极变换
      • 第十七讲 二次曲线的射影分类
      • 第十八讲 二次曲线的仿射理论
      • 第十九讲 二次曲线的仿射分类
  • 4. 概率论
  • • （一）随机事件及其概率
    • • §1.1 随机事件
      • §1.2 概率
      • §1.3 概率的加法法则
      • §1.4 条件概率与乘法法则
      • §1.5 独立试验概型
    • （二）随机变量及其分布
    • • §2.1 随机变量的概念
      • §2.2 随机变量的分布
      • §2.3 二元随机变量
      • §2.4 随机变量函数的分布
    • （三）随机变量的数字特征
    • • §3.1 数学期望
      • §3.2 数学期望的性质
      • §3.3 条件期望
      • §3.4 方差、协方差
    • （四）几种重要的分布
    • • §4.1 二项分布
      • §4.2 超几何分布
      • §4.3 普哇松分布
      • §4.4 指数分布
      • §4.5 G-分布
      • §4.6 正态分布
    • （五）大数定律与中心极限定理
    • • §5.1 大数定律的概念
      • §5.2切贝谢夫不等式
      • §5.3 切贝谢夫定理
      • §5.4 中心极限定理
• 第二
• • 1. 抽象代数
  • • 第1章 群
    • • 1.1 半群与群
      • 1.2 子群与陪集
      • 1.3 正规子群与商群
      • 1.4 群的同态与同构
      • 1.5 循环群
      • 1.6 对称群与交错群
      • 1.7 群的扩张与Jordan-Holder定理
      • 1.8 可解群和幂零群
      • 1.9 群在集合上的作用
      • 1.10 Sylow定理
    • 第2章 环
    • • 2.1 环的定义与基本性质
      • 2.2 理想与商环
      • 2.3 四元数体
      • 2.4 环的同态
      • 2.5 整环上的因子分解
      • 2.6 素理想与极大理想
      • 2.7 主理想整环与欧几里得环
      • 2.8 环上的多项式
      • 2.9 整环上的多项式环
      • 2.10 对称多项式
    • 第3章 模
    • • 3.1 模的基本概念
      • 3.2 环上的矩阵与模的自同态环
      • 3.3 自由模
      • 3.4 主理想整环上的有限生成模
      • 3.5 有限生成的交换群
      • 3.6 线性变换的标准形
    • 第4章 域
    • • 4.1 域的基本概念
      • 4.2 代数扩张
      • 4.3 尺规作图
      • 4.4 分裂域
      • 4.5 Galois群
      • 4.6 Galois扩张与Galois对应
      • 4.7 有限域
      • 4.8 可分多项式与完备域
      • 4.9 可分扩张
      • 4.10 Galois逆问题
      • 4.11 Abel扩张
      • 4.12 方程的根式解
  • 2. 复变函数
  • • 第1章 复数与复变函数
    • • 1.1 复数的定义及其运算
      • 1.2 复数的几何表示
      • 1.3 扩充平面和复数的球面表示
      • 1.4 复数列的极限
      • 1.5 开集、闭集和紧集
      • 1.6 曲线和域
      • 1.7 复变函数的极限和连续性
    • 第2章 全纯函数
    • • 2.1 复变函数的导数
      • 2.2 Cauchy-Riemann方程
      • 2.3 导数的几何意义
      • 2.4 初等全纯函数
      • 2.5 分式线性变换
    • 第3章 全纯函数的积分表示
    • • 3.1 复变函数的积分
      • 3.2 Cauchy积分定理
      • 3.3 全纯函数的原函数
      • 3.4 Cauchy积分公式
      • 3.5 Cauchy积分公式的一些重要推论
      • 3.6 非齐次Cauchy积分公式
      • 3.7 一维a问题的解
    • 第4章 全纯函数的Tayior展开及其应用
    • • 4.1 Weierstrass定理
      • 4.2 幂级数
      • 4.3 全纯函数的Taylor展开
      • 4.4 辐角原理和Rouch6定理
      • 4.5 最大模原理和Schwarz引理
    • 第5章 全纯函数的L,aurent展开及其应用
    • • 5.1 全纯函数的Laurent展开
      • 5.2 孤立奇点
      • 5.3 整函数与亚纯函数、
      • 5.4 残数定理
      • 5.5 利用残数定理计算定积分
      • 5.6 一般域上的Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和插值定理
      • 5.7 特殊域上的Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和Blaschke乘积
    • 第6章 全纯开拓<