贝叶斯公式

直观理解贝叶斯公式

先来一个问题：一机器在良好的状态生产合格产品几率为90%，在故障状态生产合格产品几率是30%，机器良好的概率是75%，若一日第一件产品是合格的，那么此日机器良好的概率是多少？
这里需要用到贝叶斯公式， 贝叶斯公式一点也不神秘，首先我们要是觉得两个东西有关联，那么它们就有联合概率$P(A,B)$,联合概率可以用链式法则表示为：$P(A,B)=P(A|B)P(B)$
这个是大家都学习过的条件概率，$A$和$B$同时发生的概率是B发生的概率乘以B发生下A的条件概率。反过来一样成立。所以有：
$$P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$$
两边同时除以$P(B)$得：
$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
这就是贝叶斯公式，所以贝叶斯公式应用范围非常广，只要两个东西有关联，能写出联合概率，那么就可以用贝叶斯公式。

机器有良好和故障两种状态，用$A$表示，产品有合格和不合格两种状态，用$B$表示。
直接套用公式算一波：
$$P(A=良好|B=合格)=\frac{P(A=良好)P(B=合格|A=良好)}{P(B=合格)}$$

$$P(B=合格)$$的概率等于：
$$P(B=合格)=P(B=合格|A=良好)P(A=良好)+P(B=合格|A=故障)P(A=故障)$$
所以：
$$P(A|B)=\frac{P(A=良好)P(B=合格|A=良好)}{P(B=合格)}=\frac{0.7\ast 0.9}{0.75\ast 0.9+0.25\ast 0.3}=0.9$$

知乎上回答给出了一个很好的图：

问题要求机器良好的概率 = ＝左下角那个蓝色方格的面积／所有蓝色部分的面积，是不是很好懂？。
先验概率是一般情况下机器良好的概率0.75（蓝色面积／总面积），在得知当天有合格产品产出后，灰色面积就没可能了，经过贝叶斯定律的计算后，就得到后验概率0.9（左下角蓝色面积／蓝色总面积）。

贝叶斯公式的扩展：

贝叶斯公式的适用范围不只有两个事件A和B，也可以是参数$\theta$和数据data->P(data|$\theta$).，，，随着学习的越多，越容易感受到贝叶斯公式的神奇魅力。
慢慢的将贝叶斯公式全部将其搞定都行啦的回事与打算。
慢慢的将其全部都研究透彻，研究彻底！
全部将其搞定！
慢慢的将贝叶斯公式全部都搞透彻！
慢慢的将各种的贝叶斯公式，全部将其搞清楚，慢慢的梳理清楚都行啦的样子学会整理都行啦的理由与打算。