前言【高等数学教程1（单变量微积分）】

前言

1. 什么是高等数学？

高等院校教授的高等数学(advanced mathematics)课程内容主要是微积分(calculus)。

1.1 微积分的主要内容

微积分是关于运动和变化的数学，主要分为微分和积分两部分内容，微分学把复杂的问题分割成无穷多个简单的部分，而积分学则把这些部分重新组合到一起，去解决原本那个更复杂的问题。

在小学的时候我们学过祖冲之首次将圆周率精算到小数第七位，也学过用割圆术求圆周率的方法。

在割圆术中，将圆分割成许多小部分体现了微分的思想，然后将这些小部分累加起来求和体现了积分的思想。虽然割圆术中使用了微分和积分的思想，但当时并没有明确的符号表示和形式化。这些思想的形式化和严格的数学框架是在后来的微积分学中发展起来的。

1.1.1 微分

用割圆术计算圆周率的时候，切割的份数越多，那么计算的结果就越精确，要得到最精确的结果，就要把圆切割为无限多份，每一份是一个无限趋近于零的量，可以看作是圆的面积的微分。

现在，圆周率已经被计算到了小数点后几十万亿位，在学到 泰勒级数 的时候，我们会讲解微积分计算具体圆周率的方法。

在高中学习瞬时速度的时候，瞬时速度$v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$，其中$\Delta t\to 0$，这里的 $\Delta t$ 和 $\Delta S$就是时间和位移的微分。同理，瞬时加速度 $a=\frac{\Delta V}{\Delta t}$，其中$\Delta t\to 0$，$\Delta t$ 和 $\Delta V$是时间和速度的微分。

1.1.2 积分

积分是要从动态变化来看累积效应。

比如对于速度来讲，累积效应就是走过的距离。在中学物理中，如果物体做匀速直线运动，运动的速度是个常数，v-t图像就是在坐标轴上和横轴平行的直线，因此物体位移是速度乘以时间，是个长方形。稍微复杂一点的情况是匀变速直线运动，这也高中物理重点考查的内容。但事实上，速度是一个随着时间不断变化的函数，忽快忽慢，那么在这样的速度下走过的距离就需要考虑每一时刻的动态变化了，积分就是提供这样的工具。在没有积分这个工具之前，人们只能通过平均值，大致了解累积效应，但是估计得非常不准确。有了积分，就能把握每一个细节对最后整体的影响。

1.2 微积分的发明

微积分有两位主要的发明人，牛顿和莱布尼茨。

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牛顿除了是数学家，还是物理学家，他研究微积分，在很大程度上是为了解决力学问题。

1. 第一个就是有关加速度、速度和距离的关系。这三者的关系只能通过微积分来描述，加速度是速度的导数，速度又是距离的导数。

2. 第二个是动量和动能，以及撞击力的关系。动量是动能的导数，撞击力是动量的导数。

3. 第三个是天体运行的向心加速度问题，它是速度的导数，而万有引力则是向心加速度的来源。

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莱布尼茨除了是数学家，还是一个哲学家和逻辑学家。他的哲学思想和逻辑思想概括起来有两点。

1. 我们所有的概念都是由非常小的、简单的概念复合而成，它们如同字母或者数字，形成了人类思维的基本单位。

   这在微积分上反映出他提出了微分dx、dy这样无穷小的概念。

2. 简单的概念复合成复杂概念的过程是计算。

   比如在计算曲线和坐标轴之间的面积时，莱布尼茨的思想是把这个不规则形状拆分成很小的单元，然后通过加法计算把它们组合起来。

基于这样的哲学思想，莱布尼茨把微积分看成是一种纯数学的公具，这个工具把宏观的数量，拆解为微观的单元，再把微观的单元，合并成宏观的积累，这便是微分与积分。

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微积分发明权之争长达几个世纪，我们今天使用的微积分的符号，大部分是莱布尼茨留下的。现在比较公认的观点是：牛顿和莱布尼茨两人共同发明了微积分。

2. 高等数学有什么用？

2.1在科学工程等领域的应用

微积分在科学、工程和许多其他领域中都有广泛的应用。

1. 科学和工程领域： 高等数学是自然科学和工程学科的基础，例如物理学、化学、生物学、电子工程、航空航天工程等。在这些领域，高等数学用于建立模型、分析数据、解决问题、优化设计等，为科学研究和工程技术提供支持。
2. 经济和金融领域： 高等数学在经济学、金融学等领域有广泛应用。它用于建立经济模型、分析市场行为、预测趋势、制定政策等，为经济和金融决策提供理论支持和数学工具。
3. 计算机科学和信息技术： 高等数学是计算机科学和信息技术的重要基础之一。例如，算法分析、数据结构、人工智能、图像处理、密码学等领域都离不开高等数学的理论和方法。
4. 医学和生物医学工程： 在医学和生物医学工程领域，高等数学用于解析医学图像、模拟生物系统、分析生物数据、优化医疗方案等，为医疗诊断和治疗提供支持。

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2.2 对个人思维能力的培养

高等数学对个人思维能力的培养主要体现在 理解变化和趋势，从而优化决策。

在初等数学中的计算都是静态的问题，但高等数学则是主要用来研究动态的问题。从初等数学到高等数学，就是要把看数学的眼光，从一个个静态的数字、孤立的公式，上升到动态变化的趋势。学习微积分能够让我们更深入地理解变化和趋势。

• 很多人在选择专业时，注重当前社会的就业形势，但实际上从大学入学到研究生毕业的这几年时间，就业形势可能发生巨大的变化，如果能够对社会的发展趋势多一点思考，那么可能更能选择一个符合个人能力与时代发展趋势的专业。
• 很多人在找对象的时候往往看对方当前的工作、收入、财产、容颜，从人生的尺度来看，对于大部分人来说这些暂时高价值的东西未必长久高价值，许多人生取得巨大成就获得长久幸福的人在年轻的时候并没有世俗意义上非常好的工作、收入、财产。如果以动态发展的眼光来看，一个人良好的品性、不断学习的能力或许才是更加长久的价值。
• 从动态发展的眼光来看，从事一项不断成长的工作事业，比从事一项起薪高却增长乏力的工作事业，往往能获得更多的收益。

3. 这个教程有什么特点？

对于大多数理工科的大一学生而言，学习高数都是步履维艰的历程，这不仅仅是因为高数本身有一定的难度，同时也受限于大多数学校使用的教材的讲解方式和老师的授课态度。

本教程的讲法和大学里的高等数学教材会有所不同，并不会直接罗列知识点，然后做习题。而是通过引例、故事、应用等引入知识点，每个重要知识点都有充分的解释说明或证明过程，并配以例题，比较难的例题会有对应的变式练习，题目难度从简入深，若讲解的知识点有对应得到考研真题会附上考研真题，每个题目都有详细的答案解析。同时会有更多的图例和丰富的色彩标注帮助读者理解基本概念。配套的视频课程发布在B站。

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数学的世界，在很大程度上可以被看成是我们这个真实世界高度抽象的结果，它的概念是对我们生活中各种对象的浓缩，它的规律是我们生活中很多规律的抽象表述。尤其是在深入学习了物理、计算机等课程之后，再回过头来看看数学书，会更加认识到数学对个人成长、对科技发展的重要性。