斜率优化之李超线段树

三对于斜率优化，分为三种类型，一是斜率单调，第二种是是斜率不单调可以二分，第三种便是毫无规律可言的斜率情况，采用李超线段树可以在log范围内快速查询与修改，且能够胜任全部情况，代码与时间复杂度都很优秀。

一，将每个dp[i]的状态看做一条直线，提取转化成具有固定的截距，斜率的式子

二，查询操作来寻找当前决策最优的函数值

方法为在值域内带入当前xi,取函数值的最优

f为计算函数值函数 i是离散化之后的x坐标，c[i]为该离散化坐标，t为直线编号，x[t]为其固定斜率，y[t]为其固定截距

double f(int i,int t)
{
    return y[t]+x[t]*c[i];
}

李超线段树k维护的是当前x轴区域线段编号，l,r为离散化之后x坐标的范围，s[k]是当前x的最优决策线段

每次我们查询当前决策最优的情况时，带入u=当前x，逐一定位u的精确范围，然后回溯答案。

double qry(int k,int l,int r)
{
 
    if(l==r)
        return f(u,s[k]);
    int m=(l+r)>>1;
 
    return max(f(u,s[k]),u>m?qry(k<<1|1,m+1,r):qry(k<<1,l,m));
 
}

三，插入直线操作

插入直线操作就是将原本最优决策点替换的操作

每次我们取一段线段的中间值，如果新直线在中点处函数值大于旧直线，那么就交换决策点。

然后朝着使新直线更优的一侧进行递归，直到到达一个点时，再次比对函数值即可 

void upd(int k,int t,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        if(f(l,t)>f(l,s[k]))
            s[k]=t;
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(f(m,t)>f(m,s[k]))
        swap(t,s[k]);
 
    f(l,t)>f(l,s[k])?upd(k<<1,t,l,m):upd(k<<1|1,t,m+1,r);
}

[NOI2007] 货币兑换 - 洛谷

# include
using namespace std;
 
typedef long long int ll;
 
double a[100000+10],b[100000+10],c[100000+10],d[100000+10],k[100000+10],x[100000+10],y[100000+10],r[100000+10];
int n,u;
double f;
int mp[100000*4+10];
 
# define getval( i, id) (c[i]*x[id]+y[id])
 
double query(int root,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        return getval(u,mp[root]);
    }
 
    int mid=(l+r)>>1;
 
    return max(getval(u,mp[root]),u>mid?query(root<<1|1,mid+1,r):query(root<<1,l,mid));
 
}
 
void update(int root,int t,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        if(getval(l,t)>getval(l,mp[root]))
            mp[root]=t;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
 
    if(getval(mid,t)>getval(mid,mp[root]))
        swap(mp[root],t);
 
    getval(l,t)>getval(l,mp[root])?update(root<<1,t,l,mid):update(root<<1|1,t,mid+1,r);
}
int main()
{
 
  cin>>n>>f;
 
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
 
     scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&r[i]);
 
      c[i]=a[i]/b[i];
      d[i]=c[i];
  }
 
  sort(c+1,c+1+n);
 
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
      u=lower_bound(c+1,c+1+n,d[i])-c;
 
      f=max(f,b[i]*query(1,1,n));
 
      x[i]=f/(a[i]+b[i]/r[i]);
      y[i]=x[i]/r[i];
 
      update(1,i,1,n);
 
  }
 
  cout<setprecision(3)<
    return 0;
}