换钱的最小货币数－Java：原问题的经典动态规划方法

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 * 换钱的最少货币数
 *
 * 【题目】
 * 给定数组arr，arr中所有的值都为正数且不重复。每个值代表一种面值的货币，每种面值的货币可以使用任意张，再给定一个整数aim
 * 代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
 *
 * 【补充题目】
 * 给定数组arr，arr中所有的值都为正数。每个值仅代表一张钱的面值，再给定一个整数aim代表要找的钱数，求组成aim的最少货币数。
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 * 【难度】
 * 中等
 *
 * 【解答】
 * 原问题的经典动态规划方法。如果arr的长度为N，生成行数为N、列数为aim+1的动态规划表的dp。dp[i][j]的含义是，在可以任意
 * 使用arr[0..i]货币的情况下，组成j所需的最小张数。根据这个定义，dp[i][j]的值按如下方式计算：
 * １、dp[0..N-1][0]的值（即dp矩阵中第一列的值）表示找的钱数为０时需要的最小张数，钱数为０时，完全不需要任何货币，所以
 * 全设为０即可。
 * ２、dp[0][0..aim]的值（即dp矩阵中第一行的值）表示只能使用arr[0]货币的情况下，找某个钱数的最小张数。比如，arr[0]=2，
 * 那么能找开的钱数为2,4,6,8,...所以令dp[0][2]=1，dp[0][4]=2，dp[0][6]=3，...第一行其他位置所代表的钱数一律找不开，
 * 所以一律设为32位整数的最大值，我们把这个值记为max。
 * ３、剩下的位置依次从左到右，再从上到下计算。假设计算到位置(i,j)，dp[i][j]的值可能来自下面的情况。
 * 完全不使用当前货币arr[i]情况下的最少张数，即dp[i-1][j]的值。
 * 只使用１张当前货币arr[i]情况下的最少张数，即dp[i-1][j-arr[i]]+1。
 * 只使用２张当前货币arr[i]情况下的最少张数，即dp[i-1][j-2*arr[i]]+2。
 * 只使用３张当前货币arr[i]情况下的最少张数，即dp[i-1][j-3*arr[i]]+3。
 * 所有的情况中，最终取张数最小的，所以
 * dp[i][j]=min{dp[i-1][j-k*arr[i]]+k(0<=k)}
 * =>dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1][j-x*arr[i]]+x(1<=x)}}
 * =>dp[i][j]=min{dp[i-1][j],min{dp[i-1][j-arr[i]-y*arr[i]]+y+1(0<=y)}}
 * 又有min{dp[i-1][j-arr[i]-y*arr[i]]+y(0<=y)} => dp[i][j-arr[i]]，所以，最终有：
 * dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i][j-arr[i]]+1}。如果j-arr[i]<0，即发生越界了，说明arr[i]太大，用一张都会超过
 * 钱数j，令dp[i][j]=dp[i-1][j]即可。
 *
 * 具体过程请参看如下代码中的minCoins1方法，整个过程的时间复杂度与额外空间复杂度都为O(N*aim)，N为arr的长度。
 *
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 */
public class ChangeMoneyMinCurrencyNumber1 {
 
    public static int minCoins1(int[] arr, int aim) {
        if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
            return -1;
        }
        int n = arr.length;
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[][] dp = new int[n][aim + 1];
        for (int j = 1; j <= aim; j++) {
            dp[0][j] = max;
            if (j - arr[0] >= 0 && dp[0][j - arr[0]] != max) {
                dp[0][j] = dp[0][j - arr[0]] + 1;
            }
        }
        int left = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= aim; j++) {
                left = max;
                if (j - arr[i] >= 0 && dp[i][j - arr[i]] != max) {
                    left = dp[i][j - arr[i]] + 1;
                }
                dp[i][j] = Math.min(left, dp[i - 1][j]);
            }
        }
        return dp[n - 1][aim] != max ? dp[n - 1][aim] : -1;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2, 5, 3};
        int aim = 10;
        System.out.printf("The min currency number is: %d", minCoins1(arr, aim));
    }
 
}
 
// ------ Output ------
/*
The min currency number is: 2
*/