力扣第300题:[最长递增子序列],这道题是非常经典的动态规划和二分查找的题目,我们先看dp:
我们先看题目的示例1:
输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。
我们写这个题前,先理解一下题目的意思,题目中说的[最长递增子序列]是什么意思,结合案例我们知道,可以是不连续的,只要大就算。
我们观察一下示例1,最长递增子序列是[2,3,7,101]
,那我们从下标为0的数开始观察,看看有什么规律,为了方便,我们定义一个数组arr
来记录一下最长递增子序列的长度,数组的长度自然为nums
数组的长度。那么arr[i]
就表示以nums[i]
这个数结尾的最长递增子序列的长度。
观察示例1我们不难发现,arr应该长这样:
nums = [10,9,2,5,3...
arr = [1,1,1,2,2...
因为10本身是一个,所以是1,9呢又比10小,所以也是1,2比前面的都小,所以也是1,那么5呢?5前面有个比他小的2,加上本身,所以是不是就是2了?同理,arr[4]
也是2。
我们推举出来了arr[0..4]
的结果,那么后面的应该是什么呢?
我们学过数学归纳法,我们先假设这个结论在 i < n 时成立,然后根据这个假设,想办法推导证明出 i = n 的时候此结论也成立,那么按照前面的规律来说,我们想找到i=n
时的结论,是不是就要找到前i-1
个比nums[i]
小的数,然后统计有几个这样的数,arr[i]
是不是就等于多少? 换句话说,是不是只要找到了比nums[i]
小的数,假如下标为j
,那么
arr[i] = arr[j] + 1
事实证明,就是这样的,所以arr[5]=arr[4] + 1 = 3
,arr[6]=arr[5] + 1 = 4
。但是这是没有重复的前提下,那如果有重复呢?此时就要改成
arr[i] = Math.max(arr[i],arr[j] + 1);
那么这个数组arr
更像什么?没错就是我们熟悉的dp
,所以将数组更名为dp
那么我们的思路是不是就是
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 寻找 nums[0..j-1] 中比 nums[i] 小的元素
if (nums[i] > nums[j]) {
// 把 nums[i] 接在后面,即可形成长度为 dp[j] + 1,
// 且以 nums[i] 为结尾的递增子序列
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
我们还需要找到一个满足条件的最大值:
int res = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for....
res = Math.max(res,dp[i]);
}
所以完整的代码如下:
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
int res = 0;
Arrays.fill(dp,1);
for(int i =0;i<nums.length;i++){
for(int j = 0;j<i;j++){
if(nums[i] > nums[j]){
dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
}
}
res = Math.max(res,dp[i]);
}
return res;
}
相信大家都玩过Windows的经典游戏—[ 蜘蛛纸牌 ]
游戏大致玩法就是,将小的牌放到大牌下面,先收集玩A-K的即为胜利
有一种叫做patience game的纸牌玩法和他类似:
首先,给你一排扑克牌,我们像遍历数组那样从左到右一张一张处理这些扑克牌,最终要把这些牌分成若干堆。
处理这些扑克牌要遵循以下规则:
只能把点数小的牌压到点数比它大的牌上;如果当前牌点数较大没有可以放置的堆,则新建一个堆,把这张牌放进去;如果当前牌有多个堆可供选择,则选择最左边的那一堆放置。
比如说上述的扑克牌最终会被分成这样 5 堆(我们认为纸牌 A 的牌面是最大的,纸牌 2 的牌面是最小的)。
为什么遇到多个可选择堆的时候要放到最左边的堆上呢?因为这样可以保证牌堆顶的牌有序(2, 4, 7, 8, Q),证明略。
按照上述规则执行,可以算出最长递增子序列,牌的堆数就是最长递增子序列的长度,证明略。
我们只要把处理扑克牌的过程编程写出来即可。每次处理一张扑克牌不是要找一个合适的牌堆顶来放吗,牌堆顶的牌不是有序吗,这就能用到二分查找了:用二分查找来搜索当前牌应放置的位置。
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
//顶部牌
int[] top = new int[nums.length];
//初始化牌堆为0
int piles = 0;
for(int i = 0;i<nums.length;i++){
//当前需要排序的牌
int poker = nums[i];
//right为牌堆界
int left = 0,right = piles;
//此二分查找的目的不在于找到这个值,
//目的在于找到left和right不断缩小过程中的非常趋近的区间k,
//当left=right时跳出循环
while(left < right){
int mid = (left + right)/2;
if(top[mid] >= nums[i]){
right = mid;
}else{
left = mid +1;
}
}
//如果k为边界(因为约定好只有有满足的,
//优先选择左边第一个满足的,如果不满足到边界了,说明没有了)
//没有找到合适的边界,新建一堆
if(left == piles) piles++;
//覆盖顶部的值,因为每次找满足之后都会放到第一个,下面的值无所谓了
top[left] = poker;
}
//堆的数量就是最长递增子序列的数量
return piles;
}
二分查找的时间复杂度为 O(NlogN),但是说实话,正常人基本想不到这种解法,但是也不失为一种很巧妙地解法
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