线性代数视频笔记

 

向量也可以求转置，他和矩阵的运算时完全一样的

，向量和矩阵本质上时完全一样的

向量的加减法

 

矩阵乘积

 

内积：

等于1*3+2*4

 

 

 

 当k取不同值的时候，他的线性组合时多种多样的

如果一个向量b可以由这样的式子表示出来的时候，k1a1+...+kmam，则称b是整个向量组a的一个线性组合

b就是一个线性组合，也称b可有向量组a线性表示

只要他们满足

 

不作特殊说明的话，默认的向量全都是列向量

 

往往给定向量组和给定矩阵，他们的含义是等价的

方程组何时有解，只要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组就一定有解

 

 有无穷多解还是有唯一解，就需要看和未知数的个数的关系，等于就有唯一解，小于就有无穷多解

 

 

 上图b可由他表示，则说明这里面x的取值一定是存在的

即x1=k1，xm=km

方程组有解的充要条件，就是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

b里面的每一个向量都可由a向量组表示，则称向量组b可由向量组a线性表示

 

b可由A表示，则多加一行b，他们的秩是相同的

同理  

b1b2...bl都不会改变整个矩阵的秩，因此A的秩它是等于AB放在一起的秩的

 

 

可以这样记，如果B的向量可由A向量表示，

那么B的秩就小于等于A的秩 

因此如果可以互相表示，那么他们的秩是相同的

此时我们也称两个向量组是等价的

等价也在初等行变换中提到过，如果A矩阵可有B初等行变换得到，那么就可成为AB矩阵是等价的

既然能表示出来，那么就可以这样写

 

想求表达式，那么就是把k1k2k3求出来

 

把k乘进去，然后把k看作x的话，其实就是一个方程组的形式

 

即求解方程组，也就是把他的增广矩阵表示出来

 

然后将其进行初等行变换，变成最简阶梯型

 

 

然后把x123分别带入原方程组中

实际上他就是在求解方程组

方程组的解所对应的就是每一个向量前方的系数

 

组合起来之后进行初等行变换

 

不看看出A的秩为2

B的秩为2，他们放在一起的秩仍然为2，所以AB等价 

 

注意，判断线性相关，右端永远是一个零向量

写完这样的等式之后，接下来判别k1到km他们的取值是什么样的， 如果k1到km不全为0，那么称他们线性相关，如果全是0，则称他们为线性无关。

例：

最后k只能取0，则线性无关 

因此单个的向量锁构成的向量组，它此时是线性无关的

 

所以判断单个向量是相关还是无关，就看它是否是0向量

0向量就一定相关，非零向量就一定无关

 

这是一个齐次的线性方程组 ，所以它一定是有解的

系数矩阵的秩等于未知数的个数n则有（唯一解）零解，小于n则有无穷解（非零解）

因此讨论讨论方程组的解，直接考虑他的秩

 

所以秩等于2，而未知数的个数也是两个，因此二者i相等，所以方程组只有零解，所以此时向量组之间是线性无关的 

此外，给定两个向量方程组，判断相关无关的话，只需要看他们之间是否成比例，若成比列，则一定线性相关，若不成比例，则一定呈线性无关

考虑一个向量组之间是相关还是无关，往往是通过考虑他们构造出来的矩阵的秩，相同则有唯一解，即为无关，不同则有无穷解，线性相关

 

小于所以是线性相关

a1和a2没有成比例，所以直接得到他们是线性无关的

 

 

  

（2）既然矩阵是n行m列的，那么对应的秩一定是小于n或这m的（m所对应的就是向量个数）

因此对应的向量组，一定是线性相关的 （向量的个数大于维数）

n+1个n维，依然还是个数大于维数，因此还是线性相关

（3）对于给定的线性组B，

另它等于0，已知向量组B是线性相关的

那么k1到km和b的系数k这些所有的k中，一定是有一个不为0的数，因此易得b的系数k一定是不为0的

 

 k是不等于0的

第二问找秩并不好找，所以可以使用反证法 

假设a4可以由a1a2a3线性表示，看看能不能推出来和题目矛盾的结果

从这里可以看出a4肯定可以由a2a3线性表示出来，因此a234一定得是线性相关的，和题目中的给定条件相矛盾了，所以一定是假设不成立，a4不能由a123线性表示 

向量组的秩

 任意r+1都先线性相关时，此时秩为r

求秩一般都会转换成矩阵来求

矩阵秩的严格定义是

非零子式的最高阶数

非零子式只有零解对应的就是线性无关

如果矩阵A0是矩阵A的极大无关组的话，那么A0和A是等价的

他两等价是指，A中随意拿出一个向量，都可由A0这样的向量组表示出来，反之同理，他们之间可以互相表示，称之为是等价

根据概念，极大无关组就是所含线性无关最多的，增加一个就会变成线性相关

 前面是无关的，加上an之后相关，则an一定可由a1到ar线性表示出来

因此A0和A之间是等价的，也就是他们之间是可以互相表示的

往往是将向量组的秩转变为矩阵的秩，找到矩阵的秩，那么向量组的秩也就求出来了

将向量组构造出来一个矩阵，这是一个常用方法

对这样的矩阵进行初等行变换，不会改变列向量组之间所对应的关系 

例

但平时出题，题目会这样写

 

然后问这个向量组的极大无关组是哪一个

 求一个极大无关组，说明他的个数不是唯一的

给定矩阵以后，对矩阵施加初等行变换，注意必须

必须施加初等行变换，不要变换列，如果变换列的话，后方的结果就很难写，

只变换行

只变换行

先变为阶梯型，要把不属于极大无关的的向量表示出来，则往下把他化简成一个最简阶梯型

最简的也就是所对应的每一列0后边的第一个元素全都变成1，并且1所在的位置元素上下都是0

类似这样的向量称为是单位向量（模为1的向量（根号下1方加0方加0方加0方）），只有一个1，其他全是0

 

 然后把单独把单位i向量找出来，单位向量锁对应的向量就作为极大无关组

 

单位向量构成的就是一个极大无关组，b1b2b4

因为列之间的关系是完全一致的，所以可以看作是a1a2a4

 

这时，把a3和a5用a124表示出来 

类似这样

最后得到

 

如果不知道是否正确

可以将关系带入原矩阵，如果发现正好吻合，则说明计算正确

 

给向量直接写成矩阵，给了矩阵则直接进行初等行变换

将其化简成最简阶梯型，最简阶梯型的标志就是某些列中只有一个非零元素1，其他位置都是0，然后所对应的单位向量的位置，就是构造出来的极大无关组，其他的向量来表示的时候，只需要将系数直接进行直接进行添加就可以

 

 

给定的向量无关组，本身就无关了，有几个向量，则秩就是几

如图，第一个可由第二个表示，第一个（r）的个数大于第二个（s）的个数，则第一个一定线性相关  

 

如图

 

 经过初等行变换之后得到右侧结果

x1和x2列是单位向量，所以放到等号的左侧剩下的把他们移到等号的右端，因此得都添加一个负号

这时x3和x4称为是自由未知量，他们可以随意进行取值

那么接下来考虑基础解系如何构建

基础解系有几个向量，这和自由未知量是有关系的，如果它有两个未知量的话，则基础解系就有两个向量构建，以此类推        所以

由于是基础解系，所以他们一定是线性无关的，线性无关则取一组最简单的线性无关的表达式，如单位向量 

 如

他们两个不成比例，则必然无关

这样的，他们的解就称为是基础解系

求法

一般先确定对应的自由未知量，有了自由未知量之后，就对自由未知量去一些线性无关的向量，线性无关就取10和01，如有三个自由未知量，就可以取成100，010，001这样三个解

找到解系之后，他的通解就是，将基础解系的前方乘以系数就可以

 

 

其中k1k2称为全体实数 

 

 

 含有解系量的个数  =  未知数的个数  -  对应系数矩阵的秩

 所有的bi可以看成是Ax=0的解

这里对应的是一个齐次线性方程组，他的解理论上存在无穷多个解

Ax=0存在着无穷多解，就可以想到它存在着一个基础解系

基础解系设为

把他们看成是方程组所对应的基础解系

所以b1b2到bl肯定是包含在这样的基础解系里面的

或者说基础解系肯定可以表示出b1b2到bl，它只是所有的解中取出来的一部分 

所以

 

 

 齐次 

 

 

 非齐次方程组

 找到一个特解（只要保证这个方程组成立就可以）

所谓齐次，就是不看常数项的两个 1/2

 

这里所对应的自由未知量有两个 所以解系量的个数为2

接下来找特解

能保证它满足该方程组就可以，一般就是把自由未知量x2和x4都取成0

此时x1=1/2 

特解是存在无穷多个的，也可以把x2x4都取成1，3都是可以的

只要带入整个方程组成立就可以

求出特解和齐次解之后，求对应的通解 

非齐次与齐次相比，多了一步找到特解，并相加即可

 

意味着yita1和yita2对应着非齐次方程组的两个特解，求此时yita1-yita2是谁的解

 

 因此他所对应的是Ax=0这样的齐次线性方程组的解

题目中给出了几个解向量，让找齐次的解，可以通过非齐次的解加减法进行构造，可以得出来对应的齐次的解，多数都是以减法为主的

 

内积的结果对应的就是一个数

 

x是零向量，那么他和任意的向量做内积，结果必然等于零

如果x不等于0，那么x和x的内积，结果一定是大于零的        

只要x是非零的，那么它的长度一定是大于零的