统计信号处理基础 习题解答6-8

题目

继续习题6-7，我们总是能够将s 表示为C 的特征矢量线性组合，这是因为我们总能求出N个线性无关的特征矢量。而且可以证明，由于C 的对称性，这些特征矢量是正交的。因此，信号可以用正交的特征向量表示为：

其中 是C 的正交特征矢量。证明BLUE的最小方差为：

其中 是C 对应特征矢量 对应的特征值。

其次，证明信号能量 由 给出。最后证明，如果约束能量为某个 。那么BLUE的最小可能方差通过选择：

而得到，其中 是C 对应最小特征值对应的特征矢量，c 的选择要满足能力约束 。假定C 的特征值是不同的，解释为什么这样的结果是有意义的。

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解答

证明问题1：

根据特征向量及特征值的性质，得到：

进一步可以得到：

因此， 的特征值为 ,…, ，对应的特征向量仍然为

根据BLUE性质，得到：

证明问题2：

信号能量可以表示为：

证明问题3：

第三个证明可以转换为在限制条件 条件下，寻找 的最小值，其实也等同于在 条件下，寻找 的最大值，此时可以使用拉格朗日因子法，建立拉格朗日函数：

可以得到：

拉格朗日因子法，可以参考：

【整理】深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) 和KKT条件 - mo_wang - 博客园

其中BLUE的求解，也是采用的拉格朗日乘子法。

满足上面条件，可以得到对于所有的i 存在： 或者

显然，由于 是组成信号s 的系数，因此不可能全为0：

另外，根据题目条件，C 的特征值 都不相同，因此也不能全相等。因此只有一种情况满足 达到最大值，此时存在某个j ，使得：

当 时， ；

当 时， ；

此时，代入 ，得到：

而由于已经约束：

因此得到：

如果 达到最小值，那么 应该就是所有C 特征值中的最小值，而最小特征值 对应的特征向量如果用 表示，那么有：

而

因此，此时可以得到：

最终，采用 时，估计 可以达到最小值。

物理意义

此题的物理意义，与6.7一致，也是设计了一个电压放大器，对输入信号进行线性放大，现在需要估计放大器的增益。只不过未知噪声协方差矩阵C 具有不同大小的特征值和特征向量。此时如果要估计 ，那么需要加什么样的测试信号s ，使得 的估计方差最小。

根据题目的求解过程，我们首先对C 进行特征值分解，并对特征值进行排序，获得最小特征值 对应的特征向量 ，此时如果我们需要控制输入信号的功率为 ，那么加入的测试信号为 时，通过观测到的输出信号x ，并采用BLUE估计：

可以使得 最小:

此种情况下，与习题6.7激励信号可以加任意信号不一致，需要用最小特征值对应的特征向量，作为激励，才能使得估计量的方差最小。