导数专题解题技巧

导数

一些 结论的应用

f(x)=g(x)u(x) (g(a)=0而且g’(a)好求)

* 推广：二阶。 n阶同理。

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导数定义式不好凑时，进行反解。

• 例题

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可导性证明

• 从充分性和必要性分别入手
• 结论：$F(x)=f(x)g(x),g(x)在x=a处连续不可导，f^{\prime }(a)存在，欲使F(x)在x=a处可导，则f(a)=0$

函数的不可导点

分段函数的可导性及导函数的连续性问题

• x=分段点，用导数定义式求出f‘(分段点)
• x≠分段点，用导数公式 求出f’(x)
• 证明 $\frac{\lim }{x\to 分段点}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(分段点)$

积分的导数

• 例题
  

反函数的导数

高阶导数

利用常见函数的高阶导数

利用莱布尼茨公式

利用递推公式

利用幂级数展开(数二用不上)

利用数学归纳法

极值点与拐点

极值点与拐点的各种对比

定义

• 极值点：
• 拐点：

必要条件

• 极值点：函数f(x)在x=xo处取极值 ，则f’(x0)=0或者f’(x0)不存在。

• 拐点 : 若点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点,则f’‘(x0)=0或者f’'(x0)不存在。

第一充分条件

• 极值点：一阶导左右两侧一正一负则是极值点，左右两侧同正负则不是极值点。

• 拐点：二阶导左右两侧一正一负则是拐点，左右两侧同正负则不是拐点。

第二充分条件

• 极值点：设函数f(x)在x=x0处二阶可导，且f’(x0)=0，f’'(x0)≠0，则x=x0取极值点。
• 拐点：设函数f(x)在x=x0处三阶可导，且f’‘(x0)=0，f’‘’(x0)≠0，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。

第三充分条件

• 总结：
  • $f^{\prime }(x_0)=\dots \dots f^{(n-1)}(x_0)=0,f^n(x_0)\ne 0$
    • 当n为偶数(n≥2)，取极值点。
    • 当n为奇数(n≥3)，取拐点。

极限与极值点的综合题——秒杀技巧

根据图像判断极值点和拐点个数

• 根据必要性
  
• 根据一阶导的单调性
  

拐点和极值点的个数问题